§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств

Определение 1. Пусть открытое множество. Если интервал содержится в , но его концы этому множеству не принадлежат

то мы будем называть этот интервал составляющим интервалом множества .

Теорема 1. Если есть непустое ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому его составляющему интервалу.

Доказательство

Пусть . Положим . Каждое из множеств и замкнуто, а поэтому множество также замкнуто.

Кроме того, поскольку ограничено, не пусто.

Наконец, ни одна точка множества не лежит левее точки , так что множество ограничено снизу. В таком случае в этом множестве есть самая левая точка , причем, . Но , значит , так что , то есть . Так как , значит .

Докажем, что

От противного, пусть это не так. Тогда существует такая точка , что . Но из этих соотношений вытекло бы, что , , а это противоречит самому определению точки , следовательно .

Итак, для точки установлено три свойства:

1) , 2) , 3)

Аналогично доказывается существование точки со свойствами:

1) , 2) , 3) .

Отсюда следует, что составляющий интервал множества , содержащий точку . Теорема доказана.

Замечание. Из доказанной теоремы следует существование составляющих интервалов у каждого непустого, ограниченного, открытого множества

Теорема 2. Если и два составляющий интервала одного и того же открытого множества G, то они или тождественны, или не пересекаются.

Доказательство.

Допустим противное

Пусть существует точка общая обоим интервалам и , , . Предположим, что . Тогда, очевидно, , но это невозможно, так как . Значит .

Но так как и совершенно равноправны, то по тем же соображениям , а тогда .

Аналогично устанавливается, что , откуда следует, что интервалы и тождественны.

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество различных составляющий интервалов непустого ограниченного открытого множества конечно или счетно.

Доказательство

Если мы выберем в каждом из этих интервалов по рациональной точке, то множество составляющих интервалов окажется поставленным во взаимнооднозначное соответствие с ю множества всех рациональных чисел.

Следствие доказано.

Теорема 3. Каждое непустое ограниченное открытое множество представимо в форме суммы конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов

,

концы которых не принадлежат множеству

, т.е. .

Верно и обратное: всякое множество, представимые в форме суммы интервалов, открыто.

Замечание. Условие ограниченности множества может быть опущено, при этом в качестве составляющий интервалов дополнительно следует рассмотреть интервалы вида , и .

Теорема 4. Пусть непустое ограниченное открытое множество и - интервал, содержащийся в . В таком случае среди составляющихся интервалов множества найдется такой, который содержит в себе интервал .

Доказательство

Пусть . Тогда , и среди интервалов, составляющих множество , найдется такой интервал , что .

Допустим, что , получим, что , а это невозможно, потому что . Значит . Аналогично можно убедится, что , а тогда .

Теорема доказана

Теорема 5. Непустое ограниченное замкнутое множество или является отрезком, или получается из некоторого отрезка удалением конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат множеству .

Доказательство

Пусть такое множество и наименьший отрезок, содержащий . Множество открыто. Если это множество не пусто, то к нему применима теорема 3 (стр. 40).

Теорема доказана.

Замечание. Верно также обратное утверждение: всякое множество, получаемое из отрезка удалением некоторого множества интервалов, - замкнуто.

Определение 2. Составляющие интервалы множества называются дополнительными интервалами множества .

Теорема 6. Пусть непустое ограниченное замкнутое множество и наименьший отрезок, содержащий . Тогда

1. Точка , являющаяся общим концом двух дополнительных интервалов , есть изолированная точка .

2. Если точка (или ) есть конец одного из дополнительных интервалов , то она изолированная точка .

3. Никаких других, кроме отмеченных в 1 и 2, изолированных точек не имеет.

Доказательство

Утверждение 1 и 2 очевидны. Докажем 3.

Пусть есть изолированная точка . Допустим сначала, что . По определению изолированной точки, существует содержащий эту точку интервал , в котором нет отличных от точек множества , причем, очевидно, . Но тогда интервал .

Согласно теореме 4 (стр. 40), существует дополнительный интервал множества , содержащий интервал . Если бы было , то точка не принадлежала бы множеству , поэтому необходимо, чтобы . Но неравенство противоречило бы тому, что . Значит , то есть является левым концом одного из дополнительных интервалов множество .

Совершенно также устанавливается, что служит и правым концом какого-то дополнительного интервала , откуда и следует 3.

Случай и исчерпывается таким же образом.

Теорема доказана

Теорема 7. Всякое непустое ограниченное совершенное множество есть отрезок, или получается из некоторого отрезка удалением конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, которые не имеют общих концов ни друг с другом, ни с исходным отрезком. Обратно, всякое множество, полученное этим способом, совершенно.

Пример совершенного множества

Канторовы множества и . Разделим отрезок на три части точками и и удалим из него интервал . Каждый из двух оставшихся отрезков и разделим на три части и удалим средние интервалы , . Далее делим на три равные части каждый из оставшихся четырех отрезков и удаляем из них средние интервалы. Этот процесс мы продолжаем неограниченно.

В результате из окажется удаленным открытое множество , являющееся суммой счетного множества интервалов.

Оставшееся множество в силу теоремы 7 (стр. 42) оказывается совершенным. Множества и носят название канторовых множеств.

Нетрудно дать арифметическую характеристику этих множеств. Рассмотрим разложение в троичную дробь. Выясним, какие точки попадают в первый из удаленных интервалов . При разложении каждой из этих точек в троичную дробь , необходимо окажется .

Концы же этого интервала допускают каждый по два представления:

;

Все остальные точки отрезка при разложении в троичную дробь не могут иметь на первом месте после запятой единицу.

Итак, на первом шагу процесса построения множества из отрезка удаляются те и только те точки, первый троичный знак которых единица.

Аналогично, можно установить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй троичный знак которых единица, и т.д.

Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут быть изображены троичной дробью , в которой ни одно из не равно единице. Таким образом, множество состоит из точек, троичное разложение которых невозможно без помощи единицы, а - из точек, для которых такое разложение возможно.Следствие 1. Канторово совершенное множество имеет мощность

Замечание. Полученный результат показывает, что, кроме концов удаленных интервалов (которых есть только счетное множество), канторово множество содержит и другие точки. Примером такой «не концевой» точки служит дробь , не содержащая 0 или 2 в периоде.