Вариант № 9

№ 1. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 2. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁(–2, 0, –4), A₂(–1, 7, 1),

A₃(4, –8, –4), A₄ (1, –4, 6). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 3. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (1, –2, 1) и т. B (1, 1, 1).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 4. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (–4, –2, 0),

B (–1, –2, –4), C (3, –2, 1).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вариант № 9

1. Даны вершины треугольника: , найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) угол А в градусах с точностью до градуса;

3) уравнение высоты, проведенной из точки В(h_B);

4) длину высоты h_B;

5) уравнение медианы, проведенной из точки С(m_c);

6) точку пересечения высоты h_B и медианы m_c;

7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ;

8) через точку С провести прямую, параллельную высоте h_B.

2. Уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду. Определить тип кривой, сделать чертеж:

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A( -1; 2; 4 ), B( -1; -2; -4 ), C( 3; 0; -1 ), D( -2; 3; 5 ).

Требуется найти :

1) уравнения ребра AD;

2) уравнение грани ABC;

3) проекцию вершины D на грань ABC;

4) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

5) угол между ребром AD и гранью ABC с точностью до 1°;

6) острый угол между гранями ABC и BCD с точностью до 1°;

7) уравнения прямой, параллельной ребру DB и проходящей через вершину А;

8) уравнение плоскости, параллельной ребрам AD и AC и проходящей через вершину В;

9) уравнение плоскости, перпендикулярной ребру AD и проходящей через вершину D;

10) уравнения прямой, параллельной граням ADC и BCA, проходящей через вершину В.

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вариант № 10

№ 1. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 2. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁(14, 4, 5), A₂(–5, –3, 2),

A₃(–2, –6, –3), A₄ (–2, 2, –1). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 3. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (–2, –1, 0) и т. B (5, 2, –1).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 4. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (5, 3, –1),

B (5, 2, 0), C (6, 4, –1).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вариант № 10

1. Даны вершины треугольника: , найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) угол А в градусах с точностью до градуса;

3) уравнение высоты, проведенной из точки В(h_B);

4) длину высоты h_B;

5) уравнение медианы, проведенной из точки С(m_c);

6) точку пересечения высоты h_B и медианы m_c;

7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ;

8) через точку С провести прямую, параллельную высоте h_B.

2. Уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду. Определить тип кривой, сделать чертеж:

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A( 0; -3; 1 ), B( -4; 1; 2 ), C( 2; -1; 5 ), D( -3; 4; -5 ).

Требуется найти :

1) уравнения ребра AD;

2) уравнение грани ABC;

3) проекцию вершины D на грань ABC;

4) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

5) угол между ребром AD и гранью ABC с точностью до 1°;

6) острый угол между гранями ABC и BCD с точностью до 1°;

7) уравнения прямой, параллельной ребру DB и проходящей через вершину А;

8) уравнение плоскости, параллельной ребрам AD и AC и проходящей через вершину В;

9) уравнение плоскости, перпендикулярной ребру AD и проходящей через вершину D;

10) уравнения прямой, параллельной граням ADC и BCA, проходящей через вершину В.

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ