Вариант № 16

№ 1. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 2. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁(1, 5, –7), A₂(–3, 6, 3), A₃(–2, 7, 3),

A₄ (–4, 8, –12). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 3. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (–1, 2, –1) и т. B (4, 2, 4).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 4. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (3, –6, 9),

B (0, –3, 6), C (9, –12, 15).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вариант № 16

1. Даны вершины треугольника: , найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) угол А в градусах с точностью до градуса;

3) уравнение высоты, проведенной из точки В(h_B);

4) длину высоты h_B;

5) уравнение медианы, проведенной из точки С(m_c);

6) точку пересечения высоты h_B и медианы m_c;

7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ;

8) через точку С провести прямую, параллельную высоте h_B.

2. Уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду. Определить тип кривой, сделать чертеж:

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A( 1; 3; 6 ), B( 2; 2; 1 ), C( -1; 0; 1 ), D( 5; -4; 5 ).

Требуется найти :

1) уравнения ребра AD;

2) уравнение грани ABC;

3) проекцию вершины D на грань ABC;

4) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

5) угол между ребром AD и гранью ABC с точностью до 1°;

6) острый угол между гранями ABC и BCD с точностью до 1°;

7) уравнения прямой, параллельной ребру DB и проходящей через вершину А;

8) уравнение плоскости, параллельной ребрам AD и AC и проходящей через вершину В;

9) уравнение плоскости, перпендикулярной ребру AD и проходящей через вершину D;

10) уравнения прямой, параллельной граням ADC и BCA, проходящей через вершину В.

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вариант № 17

№ 1. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 2. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁(–3, 4, 7), A₂(1, 5, –4),

A₃(–5, –2, 0), A₄ (2, 5, 4). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 3. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (4, 7, 5) и т. B (2, 0, –1).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 4. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (0, 2, –4),

B (8, 2, 2), C (6, 2, 4).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вариант № 17

1. Даны вершины треугольника: , найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) угол А в градусах с точностью до градуса;

3) уравнение высоты, проведенной из точки В(h_B);

4) длину высоты h_B;

5) уравнение медианы, проведенной из точки С(m_c);

6) точку пересечения высоты h_B и медианы m_c;

7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ;

8) через точку С провести прямую, параллельную высоте h_B.

2. Уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду. Определить тип кривой, сделать чертеж:

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A( -4; 2; 6 ), B( 2; -3; 0 ), C( -10; 5; 8 ), D( -12; 1; 8 ).

Требуется найти :

1) уравнения ребра AD;

2) уравнение грани ABC;

3) проекцию вершины D на грань ABC;

4) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

5) угол между ребром AD и гранью ABC с точностью до 1°;

6) острый угол между гранями ABC и BCD с точностью до 1°;

7) уравнения прямой, параллельной ребру DB и проходящей через вершину А;

8) уравнение плоскости, параллельной ребрам AD и AC и проходящей через вершину В;

9) уравнение плоскости, перпендикулярной ребру AD и проходящей через вершину D;

10) уравнения прямой, параллельной граням ADC и BCA, проходящей через вершину В.

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ