Вариант № 14

№ 1. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 2. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁(2, 3, 1), A₂(4, 1, –2), A₃(6, 3, 7),

A₄ (7, 5, –3). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 3. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (1, 0, 1) и т. B (2, –6, 8).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 4. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (–1, –2, 1),

B (–4, –2, 5), C (–8, –2, 2).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вариант № 14

1. Даны вершины треугольника: , найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) угол А в градусах с точностью до градуса;

3) уравнение высоты, проведенной из точки В(h_B);

4) длину высоты h_B;

5) уравнение медианы, проведенной из точки С(m_c);

6) точку пересечения высоты h_B и медианы m_c;

7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ;

8) через точку С провести прямую, параллельную высоте h_B.

2. Уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду. Определить тип кривой, сделать чертеж:

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A( 2; -4; -3 ), B( 5; -6; 0 ), C( -1; 3; -3 ), D( 2; -10; 8 ).

Требуется найти :

1) уравнения ребра AD;

2) уравнение грани ABC;

3) проекцию вершины D на грань ABC;

4) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

5) угол между ребром AD и гранью ABC с точностью до 1°;

6) острый угол между гранями ABC и BCD с точностью до 1°;

7) уравнения прямой, параллельной ребру DB и проходящей через вершину А;

8) уравнение плоскости, параллельной ребрам AD и AC и проходящей через вершину В;

9) уравнение плоскости, перпендикулярной ребру AD и проходящей через вершину D;

10) уравнения прямой, параллельной граням ADC и BCA, проходящей через вершину В.

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вариант № 15

№ 1. Даны векторы: и число .

Найти:

а) при каких значениях и векторы компланарны;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) вектор , который перпендикулярен векторам .

№ 2. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄ : A₁(1, 1, –1), A₂(2, 3, 1), A₃(3, 2, 1),

A₄ (5, 9, –8). Найти:

а) ; б) площадь грани A₁ A₂ A₃; в) ;

г) ; д) объём пирамиды.

№ 3. Задан вектор силы и координаты точек: т. A (–1, –2, –1) и т. B (2, 1, 2).

Найти:

а) работу заданной силы по перемещению тела из точки A в точку B;

б) модуль момента силы , приложенной в точке A, относительно точки B.

№ 4. Вычислить проекции вектора на оси координат, если A (0, 0, 4),

B (–3, –6, 1), C (–5, –10, –1).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вариант № 15

1. Даны вершины треугольника: , найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) угол А в градусах с точностью до градуса;

3) уравнение высоты, проведенной из точки В(h_B);

4) длину высоты h_B;

5) уравнение медианы, проведенной из точки С(m_c);

6) точку пересечения высоты h_B и медианы m_c;

7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ;

8) через точку С провести прямую, параллельную высоте h_B.

2. Уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду. Определить тип кривой, сделать чертеж:

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A( 1; -1; 2 ), B( 2; 1; 2 ), C( 1; 1; 4 ), D( -3; 2; 7 ).

Требуется найти :

1) уравнения ребра AD;

2) уравнение грани ABC;

3) проекцию вершины D на грань ABC;

4) длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

5) угол между ребром AD и гранью ABC с точностью до 1°;

6) острый угол между гранями ABC и BCD с точностью до 1°;

7) уравнения прямой, параллельной ребру DB и проходящей через вершину А;

8) уравнение плоскости, параллельной ребрам AD и AC и проходящей через вершину В;

9) уравнение плоскости, перпендикулярной ребру AD и проходящей через вершину D;

10) уравнения прямой, параллельной грани ADC и BCA, проходящей через вершину В.

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ