Лекция 2 Математические модели и их виды
Основные этапы построения математической модели
Определение цели (т.е. чего хотят добиться, решая поставленную задачу)
Определение параметров модели, т.е. заранее фиксированных факторов, на значение которых исследователь не влияет
Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи
Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные
выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.
Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.е. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.
Обозначим:
a - параметры модели
x- управляющие переменные или решения
X – область допустимых решений
x - случайные или неопределенные факторы
W – целевая функция или критерий эффективности (оптимальности)
в соответствии с обозначениями мат. модель имеет вид:
W* = W(x*, a, x) ® max(min) , x Î X
целевая функция ограничения
Решить задачу – это значит найти такое оптимальное решение x* Î X, чтобы при данных фиксированных параметрах a и с учетом неизвестных факторов x значение критерии эффективности W было по возможности максимальным (минимальным)
Т.о. оптимальное решение – это решение, предпочтительное перед другими по определенному критерию эффективности
Основные принципы построения математической модели
Необходимо соизмерять точность и подробность модели с точностью тех исходных данных, которыми располагает исследователь, и с теми результатами, которые требуется получить
Мат. модель должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать
Мат. модель не может быть полностью адекватна реальному явлению, поэтому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для построения которых применены разные мат. методы. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи
Любая сложная система всегда подвергается малым внутренним и внешним воздействиям, следовательно, мат. модель должна быть устойчивой, т.е. сохранять свои свойства и структуру при этих воздействиях.
Классификация моделей
Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии) – это естественно, если к этому подходит специалист в какой–то одной науке.
Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований) – это естественно для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования.
Наконец, человек, интересующийся общими закономерностями моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, ставящий на первое место цели моделирования, скорее всего, заинтересуется такой классификацией:
– дескриптивные (описательные) модели;
– оптимизационные модели;
– многокритериальные модели;
– игровые модели;
– имитационные модели.