Лекция 1.2. Математическое моделирование системы. Характеристики динамики линейной системы в области времени.

«используя математику, надо иметь достаточное представление о прикладной точке зрения на математические сущности»

«Если выбирать, то лучше здравый смысл без математики, чем математику - без здравого смысла».

Для построения математических моделей систем управления применяется разнообразный математический аппарат. Это вызвано многообразием реальных свойств элементов систем, особенностями их физической природы, различными способов их объединения в системе, а также с многообразием внешних факторов, влияющих на ее поведение.

Так, - изменения параметров системы заставляют применять методы решения нестационарных уравнений; нелинейности характеристик элементов - методы решения нелинейных уравнений, случайность воздействий - методы теории вероятности; многомерность объектов управления - матричный анализ; дискретность сигналов управления (применение цифровой обработки сигналов) - методы дискретной математики. Поскольку в реальной системе все данные особенности и факторы действуют совместно и одновременно, то достаточно близкую к реальной – модель процессов можно получить лишь при интегрировании полной системы уравнений на ЭВМ. Такое моделирование дает количественную оценку поведения системы и применяется в основном при ее анализе.

Однако, при синтезе системы, необходимо иметь представление об основных закономерностях ее динамики, о влиянии базовых параметров на свойства, о характерных особенностях связей между воздействиями и показателями качества. Такую информацию могут предоставить упрощенные модели.

Практикой разработки показано, что «для многих сложных задач грубое (упрощенное) решение оказывается достаточным. Начинать исследование с упрощенной модели целесообразно даже в случае , когда заранее известно, что придется изучать более сложную модель. Закономерности, полученные на грубой модели, позволяют рационально организовать исследование более полной модели».

В частности, для достаточно большого числа реальных систем удается решить такие задачи их построения , рассматривая систему как непрерывную, стационарную (параметры постоянны) и линейную (связи между переменными описываются линейными дифференциальными уравнениями).

Такие системы называются линейными.

В простейшем случае линейная система имеет один вход и один выход ( такие системы будем называть скалярными в отличие от многомерных, где в качестве переменных рассматриваются векторы).

Полную информацию о динамике процессов в таких системах несет обыкновенное дифференциальное уравнение (или система дифференциальных уравнений).

В классической теории регулирования для построения моделей динамики одномерных (скалярных) систем применяется уравнение, связывающее входную и выходную переменную. Такие уравнения часто называют - уравнение "вход-выход".

В современной теории управления базовой математической моделью является система уравнений, разрешенных относительно первых производных переменных состояния (форма Коши). Такая форма записи более удобна для применения векторно-матричных методов. Вопросы построения таких моделей рассматриваются во второй части курса.

Рассмотрим классическое описание системы с помощью уравнения "вход-выход".

Исходным материалом для получения такого уравнения является функциональная схема системы. Функциональная схема отражает функции элементов в системе, раскрывает роль и место приложения внешних воздействий, показывает регулируемые величины и направление передачи сигналов.

По функциональной схеме системы составляются физические модели элементов системы.

Физическая модель дает представление о элементе с позиции законов физики и предназначена для составления уравнений, выражающих эти законы ( например, схема взаимодействия подвижных масс, схема воздействий со стороны окружающей среды, схема замещения в электрических цепях и т. д)

После составления уравнений физики отдельных элементов, промежуточные переменные ( это - все переменные, кроме входной и выходной переменной) исключаются и возникает одно уравнение "вход-выход". Такое уравнение имеет классическую форму записи, например:

Данное уравнение связывает линейной зависимостью входную переменную системы "х" и ее производные с выходной переменной "у" и ее производными. Интегрирование (решение) данного дифференциального уравнения дает полное описание процесса изменения выходной переменной при известном описании входной переменной и заданных начальных условий.

Как известно, дифференциальное уравнение при известных начальных условиях и входном воздействии (рассматривается движение с момента , когда все начальные условия по воздействию являются нулевыми) имеет решение, математически описывающее изменение выходной переменной и содержащие две составляющие движения системы: свободное движение и вынужденное движение .

Первая составляющая этого движения определяется общим решением однородного дифференциального уравнения. Характер этого движения зависит от корней характеристического уравнения системы:

где

комплексная переменная.

Каждому вещественному корню соответствует слагаемое в решении:

Каждой паре комплексно-сопряженных корней:

соответствует слагаемое в решении:

Постоянные интегрирования A,C,D определяются системой линейных алгебраических уравнений, составляемых на основании начальных условий для производных выходной переменной.

Эти постоянные интегрирования полностью определяются коэффициентами уравнения и начальными условиями.

Таким образом, свободное движение системы от входного воздействия не зависит ( этим и определяется его название)

Вторая составляющая движения - вынужденное движение системы зависит от изменения входного воздействия и описывается частным решением дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях. Оно существует, пока существует воздействие (т.е вынуждено воздействием).

Точное решение уравнения дает полную информацию о поведении системы и применяется в основном для анализа динамических свойств системы.