Характеристики динамики системы в области времени (переходная и импульсно-переходная функции).
Для сравнения динамических свойств различных систем, или одной системы при различных параметрах, используются характеристики, представляющие их реакции на типовые воздействия.
Такими типовыми воздействиями являются:
- ступенчатая единичная функция;
-импульсная единичная функция.
Применение таких (быстроизменяющихся) воздействий позволяет сравнивать различные системы в наиболее острой динамической ситуации.
Переходной функцией называют реакцию системы на ступенчатую единичную функцию, математически описывающуюся выражением:
Переходная функция
обозначается
.
Рис.
Переходная функция широко используется при экспериментальных исследованиях динамики системы, а также при ее моделировании на ЭВМ. Она дает такие показатели процесса как: быстродействие, время затухания переходной реакции системы, перерегулирование.
При теоретическом исследовании процессов динамики используется импульсно-переходная функция.
Импульсно-переходной
(или весовой) функцией называют реакцию
системы на" ударное" импульсное
воздействие, математически представляемое
в виде мгновенного импульса
бесконечно-большой амплитуды и
описываемого
-функцией
Дирака (функция
с локализованным на бесконечно-малом
интервале бесконечно-большим значением):
Математически такая функция является пределом единичного ступенчатого импульса ( Рис.):
при
Физическое представление о функции Дирака связано с поведением ускорения при ударе двух абсолютно твердых тел.
Импульсно-переходная функция в теории линейных систем играет важную роль при изучении реакции системы на воздействие произвольного вида. С этой ролью связано ее другое понятие - "весовая" функция.
Рассмотрим реакцию
системы на непрерывное воздействие
произвольного вида
.
Предварительно укажем, что введение функции Дирака позволяет представить любое произвольное воздействие в виде бесконечно-большой суммы мгновенных импульсов. Покажем это.
Разобьем ось времени
на интервалы равной длины с шагом
Рис..
Поместим в начале
координат единичный ступенчатый импульс
.
Выберем на оси времени середину некоторого
"к"-го интервала и обозначим этот
момент времени
.
Перенесем в данную точку на оси времени
единичный ступенчатый импульс.
Математически этот импульс опишется
выражением:
.
Импульс такой же продолжительности но
с ординатой
определится выражением:
Образуем такой импульс в каждом интервале. В результате получаем ступенчатую функцию апроксимирующую непрерывную исходную функцию. Данная функция полностью описывается выражением суммы последовательности вида:
При неограниченном уменьшении интервала ступенчатая функция преобразуется в гладкую функцию, а выражение для последовательности в интеграл вида:
Если рассматривать процесс в интервале времени от 0 доt, то последнее выражение перепишется в виде:
(Интеграл – бесконечно – большая сумма бесконечно-малых величин)
Таким образом, получено выражение, показывающее, что непрерывная функция времени представляется в виде бесконечно большой суммы мгновенных импульсов (бесконечно малых по продолжительности), с площадями равными значениям самой функции.
Функция Дирака дала
возможность представить воздействие
в виде суммы воздействий. Поскольку
рассматривается линейная система, то
можно воспользоваться принципом
суперпозиции (реакция на сумму воздействий
равна сумме реакций на каждое воздействие
- слагаемое). Поскольку реакция на
мгновенный импульс определена, как
импульсно-переходная функция
,
а значение ординаты играет роль
масштабирующего множителя, то при
нулевых начальных условиях и произвольном
конечном времени наблюдения
,
получаем:
Здесь
момент времени
наблюдения реакции(произвольный конечный
момент времени);
любой
момент времени предшествующий моменту
наблюдения.
С точки зрения динамики данное выражение раскрывает роль импульсно-переходной функции в формировании реакции системы на произвольное воздействие для каждого момента наблюдения этой реакции.
Согласно данному
выражению каждое
значение воздействия в момент времени
предшествующий моменту наблюдения(t)
вносит свой вклад в значение реакции в
момент наблюдения. Вес этого "вклада"
определяется импульсно-переходной
функцией, представляющей реакцию на
данное значение воздействия, начинающуюся
в момент времени
и заканчивающуюся в момент времени
t.
На Рис..
приведена иллюстрация данного явления.
Поскольку реакция не может возникнуть раньше воздействия
( связь причины и следствия), то справедливо равенство:
при
.Это
равенство выражает условие физической
возможности существования системы.
При выполнении расчетов по формуле свертки целесообразно обратить время для весовой функции, перенеся ее начало в точку момента наблюдения Рис.. В этом случае площадь под произведением двух функций равна значению реакции в момент времени