Задача 1

Для определения влияния высоты (h_сн) снежного покрова на время перемещения пожарных, были проведены эксперименты по перемещению участников эксперимента по горизонтальному участку местности со снежным покрытием различной высоты. Данные представлены в таблице.

Требуется:

• используя метод наименьших квадратов построить уравнение регрессии;

• вычислить его коэффициенты и проверить на адекватность по F-критерию;

• построить график τ = f (h_сн). (График – прямая линия.Строим по двум точкам)

Предположим, что зависимость прямолинейная = B₀+ B₁*X → (необходимо рассчитать

коэфф. B_{1 и} B₀)

Предварительно рассчитаем среднее время по каждому эксперименту ( ) и запишем его в табл.

Затем по формулам Метода Наименьших Квадратов сосчитаем коэффициенты ур-я регрессии:

B₁= = = = = 3.11; - линейный коэффициент

B₀₌ = = = 38.54; - свободный коэффициент

Получим Ур-е регрессии: = 38.54 + 3.11*X

Проверка на адекватность

1.Подставляем значения Х в уравнение и находим (тау расчётное) для каждого опыта.Записано в таблицу зелёным.

2. _{= ;} - дисперсия ошибки измерений по каждому опыту (здесь n =4 количество измерений в каждом опыте, а всего опытов N = 5 (это при Х = 0; 30; 50; 70; и 80); - записано в табл. синим.

3. (y) = = = = 85.1 - дисперсия ошибки измерений всего

эксперимента (считается как среднее )

n = 4 – число дублированных опытов в каждой серии

4. = = = = = 692,6 – дисперсия отклонений расчётного времени [с помощью нашего уравнения регрессии ( ) ] и измеренного времени ( среднего )

N = 5 – число основных опытов; p = 2 – кол-во коэфф-тов в уравнении регрессии

F_расч = = = 8,1 – критерий Фишера (расчётный)

при степенях свободы = = N-p = 5-2 = 3; и = = N(n-1) = 5*3=15;

критерий Фишера будет равен F_табл = 8,7;

F_расч = 8.1 > F_табл = 3,29;

Вывод: полученное уравнение регресии НЕ АДЕКВАТНО этому миру

Метод наименьших квадратов Задача 2

Результаты экспериментов по перемещению пожарных по горизонтальному участку, покрытому снегом различной глубины, представлены в таблице:

№ попытки	Глубина снега, см. – это Х
	0	28	41	52	60	71	81
Время, сек.
1 ( )	65	97	113	160	225	260	292
2 ( )	67	108	125	175	226	270	310
3 ( )	57	108	155	176	230	280	314
4 ( )	58	111	130	175	195	246	303
5 ( )	68	111	136	200	233	251	303
	63	107	132	177	222	261	304
=	21,2	26,8	191,7	165,4	187,8	154,4	56,2
(y) =	= = = 114,8
=45,7+2,54*X	45,7	116,8	149,8	177,8	198,1	226,0	251,4
	299.3	96	289	0.64	571.2	1225	2766.76

Требуется:

--методом наименьших квадратов определить вид уравнения регрессии для определения времени перемещения пожарных;

--вычислить параметры уравнения регрессии;

--по F – критерию Фишера проверить адекватность полученного уравнения реальному процессу.

Ну, во-первых: фактор, который влияет на Y результаты эксперимента – это глубина снега (и это будет Х);

во-вторых: фактор Х варьируется по ходу эксперимента от «0» до «81» , т. е. 7 раз

Значит число опытов N = 7;

определим средние значения измерений по каждомуопыту = запишем их в таблицу

найдём дисперсии ошибок измерений _{= ;} где n = 5 кол-во попыток в каждом опыте (подсчитать в Exel и записать в таблицу)

далее определим общую дисперсию ошибок измерений всего эксперимента , которая считается как средняя мелких дисперсий (синеньких).

(y) = ; запишем в таблицу

Теперь, что касается непосредственно самого уравнения регрессии

Преположим, мат. модель есть прямая, тогда вид уравнения регрессии будет

= B₀+ B₁*X

Вычислим коэффициенты (подсказка: если значения и записать в Exel, то почти все нижестоящие огромные числа легко можно выписать оттуда)

B₁= = = = ≈ 2,54;

B₀₌ = = = 45,7;

Ур-е регрессии: = 45,7 + 2,54*X

Подсчитаем для каждого значения Х и запишем их в таблицу.

Теперь можно подсчитать дисперсию отклонений расчетных игреков ( ) от измеренных ( )

= = = = = 1049 – дисперсия отклонений расчётного времени [с помощью нашего уравнения регрессии ( ) ] и измеренного времени ( среднего )

N =7 – число основных опытов; p = 2 – кол-во коэфф-тов в уравнении регрессии

F_расч = = = 9,15 – критерий Фишера (расчётный)

при степенях свободы = = N-p = 7-2 = 5; и = = N(n-1) = 7*4=28;

критерий Фишера будет равен F_табл = 2,56;

F_расч = 9,15 > F_табл = 2,56;

Вывод: полученное уравнение регресии НЕ АДЕКВАТНО

Уравнение регрессии ПФП-2^К (2 задачи)

Задача 1 (задача решена, но есть вопросы)

Для оптимизации ОТД по развертыванию насосно-рукавных систем для транспортирования и подачи огнетушащих веществ, были проведены эксперименты, в результате которых было установлена зависимость длины магистральной линии из НПР диаметром 77 мм. от диаметра насадка пожарного ствола и высоты подъема ствола.

Диаметр насадка, мм. (x1)		Высота подъема стволов , (x2)
		0	-1	10	20		30	+1
		Длина магистральной линии
13	-1	500 (y1)		500	500	400 (y3)
16		400		360	360	320
19		360		280	260	200
22		300		240	180	140
25	+1	120 (y2)		100	80	60 (y4)

Для определения промежуточных значений, определить вид уравнения регрессии ПФП-2^К, определить его параметры. Результаты, полученные эмпирически, сравнить с экспериментальными.

Вид: ŷ = b0+b1x1+b2x2 +b₁₂x₁x₂ , где

x1 – фактор «Диаметр насадка»; x2 - фактор «Высота подъема стволов»;

Т.к. фактора 2, то для ПФП -2² достаточно 4-х измерений. Это y₁=500; y₂=120; y₃=400; y₄=60;