Тема 1.7. Геометрические построения.

Изучение темы следует проводить в следующей последовательности: деление отрезка пополам, деление окружности на равные части, построение правильных многоугольников, деление углов.

1. Д еление отрезка прямой.

Чтобы разделить заданный отрезок АВ на две равные части, точки его начала и конца принимают за центры, из которых проводят дуги радиусом, по величине превышающим половину отрезка АВ. Дуги проводят до взаимного пересечения, где получают точки С и D. Лин ия, соединяющая эти точки, разделит отрезок в точке К на две равные части. Отрезок CD ┴AB, поэтому достаточно получить одну из точек ( C или D), и от нее уже опустить перпендикуляр к отрезку AB.

Чтобы разделить отрезок АВ на заданное количество равных участков п, под любым острым углом к АВ проводят вспомогательную прямую, на которой из общей заданной прямой точки откладывают п равных участков произвольной длины. Из последней точки (на чертеже — шестой) проводят прямую до точки В и через точки 5, 4, 3, 2, 1 проводят прямые, параллельные отрезку 6В. Эти прямые и отсекут на о трезке АВ заданное число равных отрезков (в данном случае 6).

2. Д еление окружности.

Чтобы разделить окружность на четыре равные части, проводят два взаимно перпендикулярных диаметра: на пересечении их с окружностью получаем точки, разделяющие окружность на четыре равные части (рис. справа).

Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, дуги, равные четвертой части окружности, делят пополам. Для этого из двух точек, ограничивающих четверть дуги, как из центров радиусов окружности выполняют засечки за ее пределами. Полученные точки соединяют с центром окружностей и на пересечении их с линией окружности получают точки, делящие четвертные участки пополам, т. е. получают восемь равных участков окружности (рис. слева).

Н а двенадцать равных частей окружность делят следующим образом. Делят окружность на четыре части взаимно перпендикулярными диаметрами. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью А, В, С, D за центры, величиной радиуса проводят четыре дуги до пересечения с окружностью. Полученные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и точки А, В, С, D разделяют окружность на двенадцать равных частей (рис. 31, в). Пользуясь радиусом, нетрудно разделить окружность и на 3, 5, 6, 7 равных участков.

Вопросы для самоконтроля

1. Как разделить окружность на любое число частей?

2. Как разделить окружность на 3, 12, 6 равных частей геометрическими способами?

3. Как разделить отрезок на любое число равных частей?

4. Пользуясь радиусом, нужно построить правильный вписанный шестиугольник, сторона которого параллельна оси Ох. В какие точки нужно установить иголку циркуля?

5. Как разделить окружность на 8 частей, используя угольники?

Т е м а 1.8. Графические приемы выполнения изображений.

Сопряжение между прямыми, прямой и дугой, дугами. Последовательность вычерчивания контуров технических деталей.

Изучение темы рекомендуется проводить в следующей последовательности: взаимосвязь математических положений и приемов графических построений; графические приемы деления отрезка, окружностей, углов; проведение параллельных и перпендикулярных прямых; построение прямоугольника, равного заданному; прямая, касательная к окружности; сопряжение; уклон, конусность и их обозначение на чертежах; циркульные кривые (коробовая, овал и др.); лекальные кривые (эллипс, гипербола, парабола и др.); приемы работы инструментом "лекало".

Сопряжение – это плавный переход прямой в дугу окружности или дуги одной окружности в дугу другой окружности.

1. С опряжение двух прямых.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса называют скруглением углов. Его выполняют следующим образом:

1. П араллельно сторонам угла, образованного данными прямыми, проводят вспомогательные прямые на расстоянии, равном радиусу;

2. точка пересечения вспомогательных прямых является центром дуги сопряжения;

3. и з полученного центра О опускают перпендикуляры к сторонам данного угла;

4. на пересечении их получают точки сопряжения А (чаще в учебниках встречается обозначения точек сопряжения – К);

5. между этими точками проводят сопрягающую дугу радиусом R из центра О.

2. Сопряжение дуг окружностей прямой линией (касательные)

П остроение прямых, касательных к окружностям, зависит от условия задачи. Может быть задана окружность с точкой касания, или окружность и точка, из которой следует провести касательную прямую, или две окружности, к которым нужно провести касательную прямую. Подход к решению этих задач будет различным, но во всех случаях существует одно правило: точка касания должна лежать на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к прямой.

П роведение прямой, касательной к окружности через точку, лежащую на окружности, показано на рисунке справа (стр. 49). Так как точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к прямой, то касательную прямую следует проводить через заданную точку А перпендикулярно радиусу, соединяющему точку А с центром окружности О.

Проведение прямой, касательной к окружности через точку, не лежащую на этой окружности. Даны окружность радиусом R и точка А, не лежащая на окружности, требуется провести из точки А прямую, касательную к данной окружности в верхней ее части. Для этого необходимо найти точку касания. Точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к касательной прямой. Следовательно, касательная и перпендикуляр образуют прямой угол. Зная, что всякий угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым, соединив точки А и О, принимают отрезок АО за диаметр описанной окружности. В пересечении описанной окружности и окружности радиуса R будет находиться вершина прямого угла (точка К). Отрезок АО делят пополам, получают точку О₁ . Из центра О₁ радиусом, равным отрезку АО₁, проводят окружность, получают точки К и К₁ в пересечении с окружностью радиуса R. Так как нужно провести только одну касательную к верхней части окружности, выбирают нужную точку касания. Этой точкой будет точка К. Точку К соединяют с точками А и О, получают прямой угол, который опирается на диаметр АО описанной окружности радиусом R₁. Точка К — вершина этого угла, отрезки ОК и АК — стороны прямого угла, следовательно, точка К будет искомой точкой касания, а прямая АК — искомой касательной.

Проведение прямой, касательной к двум окружностям. Даны две окружности радиусами R и R₁, требуется построить касательную к ним. Возможны два случая касания: внешнее и внутреннее.

При внешнем касании касательная прямая находится с одной стороны от окружностей и не пересекает отрезок, соединяющий центры данных окружностей. При внутреннем касании касательная прямая находится с разных сторон от окружностей и пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей.

В нешнее касание. Прежде всего необходимо найти точки касания. Известно, что они должны лежать на перпендикулярах, проведенных из центров окружностей (О и О₁) к касательной. Рассмотрим рис. г, где задача уже решена. Найденные точки касания К₁ и К₂ лежат на перпендикулярах О₁К₁ и ОК₂ . Если перемещать касательную К₁К₂ параллельно самой себе в направлении центров заданных окружностей, то точки К₁ и К₂ будут скользить по перпендикулярам О₁К₁ и ОК_2. В конце концов точка К₂ совпадет с центром О (окружности меньшего радиуса, а точка К₁ — с точкой К). Так как касательная K₁K₂ перемещалась параллельно самой себе, то отрезки К₂О и К₁К равны, и отрезок К₂О равен радиусу R. Через точку К из центра О₁ проводим вспомо­гательную окружность радиусом R₃= R₁ — R. Далее построение будет как в предыдущей задаче — проведение прямой, касательной к окружности, из заданной точки, не лежащей на этой окружности.

На рисунке, приведенном в пример ранее, показано поэтапное построение касательной к двум окружностям. Сначала строят касательную ОК из центра О к окружности радиуса R₂ (рис. а, б, в). Касательную ОК перемещают параллельно самой себе. Точки касательной при этом будут перемещаться по перпендикулярам к ней. Перпендикуляр О₁К, по которому перемещается точка К, продолжают до пересечения с заданной окружностью радиуса R₁, получают точку К₁. Из точки О перпендикулярно ОК или параллельно О₁К₁ проводят прямую. Она будет тем перпендикуляром, по которому перемещается второй конец касательной ОК. В пересечении этого перпендикуляра с окружностью радиуса R получают вторую точку касания — К_2. Соединив точки К₁ и К₂, получают внешнюю касательную к двум заданным окружностям (рис. г).

В нутреннее касание. Построение внутренней касательной к двум заданным окружностям выполняют аналогично построению внешней касательной, только вспомогательную окружной радиуса R₂ проводят из центра О₁ сумма радиусов R₂ =R₁+ R (рис. Выше на стр.50). Центры 0 и О₁ соединяют прямой и отрезок OO₁ делим пополам в точке О₂, из точки О₂ проводя окружность радиуса R₃, получают точку К. Точку К соединяют с центрами О и О₁. Отрезок О₁К пересекает окружность радиусом R₁ в точке К₁. Из центра О параллельно КО₁ проводят прямую до пересечения ее окружностью радиуса R в точке К₂. Точки К₂ и К₁ будут точками касания, соединив которые получают внутреннюю касательную двум заданным окружностям (рис. б).

3. Сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой.

При построении сопряжения двух дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса можно рассмотреть три случая:

• когда сопрягающая дуга радиуса R касается заданных дуг радиусов R₁ и R₂ с внешней стороны;

• когда она создает внутреннее касание;

• когда сочетаются внутреннее и внешнее касания.

Построение центра О сопрягающей дуги радиуса R при внешнем касании осуществляется в следующем порядке: из центра О1 радиусом, равным R + R1, проводят вспомогательную дугу, а из центра O2 проводят вспомогательную дугу радиусом R + R2. На пересечении дуг получают центр О сопрягаемой дуги радиуса R, а на пересечении радиусом R + R1 и R + R2 с дугами окружностей получают точки сопряжения А и А1.
Построение центра О при внутреннем касании отличается тем, что из центра О1 проводят вспомогательную окружность радиусом, равным R — R1 а из центра О2 радиусом R — R2.
При сочетании внутреннего и внешнего касания из центра О1 проводят вспомогательную окружность радиусом, равным R — R1, а из центра О2 — радиусом, равным R + R2.

3. Сопряжение дуги окружности и прямой линии второй дугой

Здесь может быть рассмотрено два случая:

• внешнее сопряжение и

• внутреннее.

В том и в другом случае при построении сопрягающей дуги радиуса R центр сопряжения О лежит на пересечении геометрических мест точек, равно удаленных от прямой и дуги радиуса R на величину R₁.

При построении внешнего сопряжения параллельно заданной прямой на расстоянии R1 в сторону окружности проводят вспомогательную прямую, а из центра О радиусом, равным R + R1,— вспомогательную окружность, и на их пересечении получают точку О1 — центр сопрягающей окружности. Из этого центра радиусом R проводят сопрягающую дугу между точками А и А1, построение которых видно из чертежа.
Построение внутреннего сопряжения отличается тем, что из центра О проводят вспомогательную дугу радиусом, равным R — R1.

3. Овалы

П лавные выпуклые кривые, очерченные дугами окружностей разных радиусов, называют овалами. Овалы состоят из двух опорных окружностей с внутренними сопряжениями между ними.

Различают овалы трехцентровые и многоцентровые. При вычерчивании многих деталей, например кулачков, фланцев, крышек и других, контуры их очерчивают овалами. Рассмотрим пример построения овала по заданным осям. Пусть для четырехцентрового овала, очерченного двумя опорными дугами радиуса R и двумя сопрягающими дугами радиуса r , заданы большая ось АВ и малая ось CD. Величину радиусов R и r надо определить путем построений. Соединим концы большой и малой оси отрезком AС, на котором отложим разность СЕ большой и малой полуосей овала. Проведем перпендикуляр к середине отрезка AF, который пересечет большую и малую оси овала в точках О₁ и О₂. Эти точки будут центрами сопрягающихся дуг овала, а точка сопряжения будет лежать на самом перпендикуляре.

3. Лекальные кривые

Лекальными называют плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс параболу, гиперболу, циклоиду, синусоиду эвольвенту и др.

3. Уклон и конусность.

У клон. Поверхности деталей часто представляют собой плоскости, расположенные наклонно друг к другу. Например, в литых и штампованных деталях, в изделиях проката (рельсы, балки, швеллеры). На чертежах подобные плоскости изображаются прямыми линиями. При вычерчивании некоторых деталей угол наклона одной ее поверхности к другой выражают величиной уклона.

У клон прямой — это отношение противоположного катета АВ к прилежащему АС, т.е. tg α= . Уклоны выражают простой правильной дробью или в процентах.. Обозначается уклон знаком , размеры которого показаны на рисунке, согласно ГОСТ 2.304—81. Знак ставится перед числовым значением уклона над полкой линии выноски. Линия выноски заканчивается стрелкой, упирающейся в линию уклона. Острый угол знака должен быть направлен в ту же сторону, что и острый угол уклона.

Рассмотрим построение уклона, заданного отношением 1:3, относительно вертикального и горизонтального направлений. Сначала строят прямой угол АОВ. При горизонтальном направлении уклона откладывают отрезок произвольной величины по вертикальной стороне угла, получают точку А, а при вертикальном направлении уклона — по горизонтальной стороне угла. По второй стороне угла откладывают три таких отрезка, получают точку В. Соединив точки А и В прямыми, получают прямо­угольный треугольник, гипотенуза которого будет располагаться под заданным уклоном.

На рисунке (см. выше) уклон задан в процентах (15%). В этом случае строят прямой угол с вершиной О. На одной стороне угла (в данном случае горизонтальной) от точки О откладывают величину, принятую за 100%, например 100 мм, а на второй — от той же точки О откладывают величину, равную процентам заданного уклона, в данном случае 15 мм. Полученные точки соединяют прямой, которая будет располагаться с заданным уклоном.

П ровести прямую с заданным уклоном через заданную точку можно, построив на свободном месте чертежа заданный уклон, потом с по­мощью двух угольников, параллельно по­строенному уклону, провести через заданную точку прямую.

Конусность — это отношение диаметра окружности основания прямого конуса к его высоте , а для усеченного конуса — отношение разности д иаметров оснований к его высоте =2 tg α

При одном и том же угле конус­ность в 2 раза больше уклона. Перед размерным числом конусности наносят условный знак: ∆,вершину которого направляют в сторону вершины конуса. Порядок обозначения конусности по ГОСТ 2.307 — 68* показан на рисунке.

Э тим же стандартом обусловлено обозначение размеров фасок под углом 45°. Размеры фасок под другими углами указывают по общим правилам — линейными и угловыми размерами или двумя линейными размерами.

В опросы для самоконтроля

1. В каких случаях применяется сопряжение?

2. Какие виды сопряжения вы знаете?

3. Как обозначают на чертежах уклон и конусность?

4. Дайте определения лекальных кривых.

5. Раскройте принципы построения эллипса.