Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, с кользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая.

Неподвижная кривая m (m₁ m₂), по которой скользит образующая l (l₁l₂), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Геометрическая часть определителя цилиндрической поверхности состоит из направляющей линии m и исходного положения образующей l. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая кривую m и параллельная прямой l. Цилиндрическая поверхность является б есконечной в направлении своих образуюших. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения - его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:

1. круговые - нормальное сечение круг;

2. эллиптические - нормальное сечение эллипс;

3. параболические - нормальное сечение парабола;

4. гиперболические - нормальное сечение гипербола;

5. общего вида - нормальное сечение кривая случайного вида.

Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым. Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным. Наклонные сечения прямого к ругового цилиндра являются эллипсами.

Конические поверхности

Коническая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку.

Неподвижная кривая m (m₁,m₂), по которой скользит образующая l (l₁,l₂), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S (S₁,S₂), делящая поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является только вершина S, которая называется "особой точкой поверхности". Геометрическая часть определителя конической поверхности состоит из направляющей кривой m и вершины S.

Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, проходящая через вершину S и пересекающая кривую m. Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие, называется конусом. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса. Сечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее оси, называется нормальным. Осью конической поверхности называется линия пересечения ее плоскостей симметрии. Следовательно, не все конические поверхности имеют ось, а только те, которые имеют не меньше двух плоскостей симметр ии.

Конические поверхности, не имеющие оси (а, следовательно, и нормального сечения), называются коническими поверхностями общего вида.

Конические поверхности, имеющие ось, в зависимости от вида нормального сечения бывают:

1. круговые - нормальное сечение круг;

2. эллиптические - нормальное сечение эллипс и другие.

Если за основание конуса принимается фигура его нормального сечения, конус называют прямым, если иное сечение - наклонным.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое образующая поверхность?

2. Как образуются поверхности вращения?

3. Что называется осью вращения?

4. Дайте определение правильной пирамиды.

5. Дайте определение направляющей.

Т е м а 2.4. Аксонометрические проекции.

Аксонометрические проекции. Виды аксонометрических проекций. Изображение геометрических тел в прямоугольной изометрии и диметрии.

При изучении темы необходимо усвоить: принцип получения аксонометрических проекций; виды аксонометрических проекций; принцип получения аксонометрических проекций плоских фигур.

После изучения теоретических вопросов в качестве упражнений рекомендуется построить плоские фигуры: правильный треугольник, шестиугольник, неправильный многоугольник.

1. Общие сведения об аксонометрических проекциях

При выполнении технических чертежей в ряде случаев оказывается необходимо наряду с изображением предметов в прямоугольных проекциях иметь и наглядные их изображения. Это необходимо для обеспечения возможности более полно выявить конструктивные решения, заложенные в изображении предмета, правильно представить положение его в пространстве, оценить пропорции его частей и размеры.

Наглядные изображения на некоторых чертежах могут применяться и независимо от прямоугольных изображений, например, при изображении схем электроснабжения и теплоснабжения зданий и сооружений.

Существуют различные способы построения наглядных изображений. Сюда относятся аксонометрические, афинные и векторные проекции, а также линейная перспектива. В настоящем учебном пособии рассматриваются только аксонометрические проекции.

Построение аксонометрических проекций заключается в том, что геометрическую фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта фигура отнесена в пространстве, параллельным (прямоугольным или косоугольным) способами проецируют на выбранную плоскость проекций. Таким образом, аксонометрическая проекция — это проекция на одну плоскость. При этом направление проецирования выбирают так, чтобы оно не совпадало ни с одной из координатных осей.

При построении аксонометрических проекций изображаемый предмет жестко связывают с натуральной системой координат Oxyz. В целом аксонометрический чертеж получается состоящим из параллельной проекции предмета, дополненной изображением координатных осей с натуральными масштабными отрезками по этим осям. Название «аксонометрия» и произошло от слов — аксон — ось и метрео — измеряю.

В аксонометрических проекциях сохраняются все свойства параллельных проекций.

На практике измерения вдоль аксонометрических осей выполняют в одинаковых единицах — миллиметрах, поэтому единичные натуральные масштабные отрезки и их аксонометрию на чертежах не указывают.

Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии определяют отношением аксонометрических координатных отрезков к их натуральной величине при одинаковых единицах измерения.

2. Виды аксонометрических проекций

Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на:

• косоугольные, когда направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций;

• прямоугольные, когда направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций.

В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:

• изометрия — все три коэффициента искажения равны между собой;

• диметрия — два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего (н ≠ v = w или н= v ≠ w);

• триметрия — все три коэффициента искажения не равны между собой (н ≠ v ≠ w).

При прямоугольном проецировании может быть получена только одна изометрическая проекция и бесконечное множество диметрических и триметрических проекций. ГОСТ 2.317—69 предусматривает применение в инженерной графике двух прямоугольных аксонометрии: прямоугольной изометрии и прямоугольной диметрии с коэффициентами искажения н = w = 2v.

3. Прямоугольная изометрия

А ксонометрические оси в прямоугольной изометрии располагаются под углом 120° друг к другу. Изображение окружности в аксонометрии представляет интерес, особенно окружностей, принадлежащих координатным или им параллельным плоскостям.

В общем случае окружность проецируется в эллипс, если плоскость окружности расположена под углом к плоскости проекции. Следовательно, аксонометрией окружности будет эллипс. Для построения прямоугольной аксонометрии окружностей, лежащих в координатных или им параллельных плоскостях, руководствуются правилом: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрии той координатной оси, которая отсутствует в плоскости окружности. Большую ось эллипса проводят пер­пендикулярно малой оси. Направление малой оси эллипса совпадает с направлением аксонометрической оси, перпендикулярной той плоскости проекций, в которой лежит изображае­мая окружность. Так, если изображаемая окружность лежит в плоскости R или в плоскости, параллельной Н, направление малой оси будет совпадать с направ­лением оси Oz (рис. выше). Если окружность расположена в плоскости V или в плоскости, параллельной ей, направление малой оси будет совпадать с на­правлением оси Оу. Если окружность расположена в плоскости W или в плоскости, параллельной ей, направ­ление малой оси будет совпадать с осью Oх.

В прямоугольной изометрии равные окружности, расположенные в координатных плоскостях, проецируются в равные эллипсы.

Величина малой оси эллипса берется равной 0,71 d, а величина большой оси— 1,22d, где d — диаметр изображаемой окружно­сти.

Диаметры окружностей, параллельных координатным осям, проецируются отрезками, параллельными изометрическим осям, и изображаются равными диаметру окружности: l¹=l² =l³ = d, при этом l¹||x; l²||y; l³||z.

Эллипс, как изометрию окружности, можно построить по восьми точкам, ограничивающим его большую и малую оси и проекции диаметров, параллельных координатным осям.

При построении эллипса, изображаю­щего окружность небольшого диамет­ра, достаточно построить восемь то­чек, принадлежащих эллипсу (рис. выше). Четыре из них являются концами осей эллипса (А, В, С, D), а четыре других (N_h N₂, N₃, N₄) расположены на пря­мых, параллельных аксонометрическим осям, на расстоянии, равном радиусу изображаемой окружности от центра эллипса.

В практике инженерной графики эллипс, являющийся изометрией окружности, лежащей в координатной или ей параллельной плоскости, можно заменить четырехцентровым овалом, имеющим такие же оси: 2a = 1,22d и 2b = 0,71 d. Замена эллипса овалом в прямоугольной изометрической проекции при­меняется для того, чтобы упростить построение.

Овал состоит из четырех сопрягающихся дут: двух больших и двух малых. Для его построения необходимо определить четыре точки, через которые проходят большие дуги, и четыре центра дуг. На рисунке показаны три случая расположения овала относительно аксонометрических осей. В плоскости хОу построение доведено до конца, в двух других плоскостях построение остановлено на опреде­ленном этапе.

Построение овала начинают с проведения через центр овала (точка О) пря­мых, параллельных осям Ох и Oz для плоскости xOz; Oz и Оу для плоскости zOy; Ох и Оу для плоскости хОу. Затем проводят малую и большую оси овала. Расположение осей овала относительно аксонометрических осей и взаимное рас­положение большой и малой осей остаются такими же, как у эллипса, а размеры осей определяют построениями.

И з центра О; описывают окружность радиусом, равным радиусу изображаемой окружности. В пересечении окружности с проведенными параллельно аксонометрическим осям прямыми получают четыре точки, через которые прой­дут большие дуги, а на прямой, на которой находится малая ось овала, полу­чают точки 1 и 2, которые являются центрами больших дуг.

Радиус большой дуги R равен расстоянию от точки 1 или 2 до точек, в которых проведенная окружность пересекла прямые, параллельные аксонометрическим осям. Дальнейшее построение овала (проведение малых дуг) показано на рисунке в плоскости zOy (профильная плоскость проекций W). Проведя большие дуги, построили малую ось овала АВ. Из центра O₁ радиусом, равным половине отрезка АВ, проводят дуги до пересечения с большой осью овала, получают точки 3 и 4. Эти точки будут центрами малых дуг овала.

Нахождение точек сопряжения больших и малых дуг показано на рис. 251 в плоскости хОу (горизонтальная плоскость проекций Н). Точки сопряжения находятся на прямых, проведенных через центры больших и малых дуг 13, 1 4, 2 3 и 2 4 в пересечении их с большим дугами. Найдя точки сопряжения К ₁, К₂, _К3 и К₄, обводят сначала большие, а затем малые дуги овала.

Для построения аксонометрии окружности, расположенной в проецирующей плоскости или плоскости общего положения, нужно выделить на окружности некоторое число точек, построить аксонометрию этих точек и соединить их плавной кривой; получим искомый эллипс— аксонометрию окружности.

Построение правильной полной пирамиды в аксонометрии

Построение пирамиды в изометрии начинают с проведения аксонометрических осей Ох, Оу и Oz. Высоту пирамиды располагают на оси Oz. Вторичная проекция вершины будет находиться в точке О₁. От точки О₁ по оси Оу откладывают расстояние до вершины 1 основания и до середины стороны основания 2 3, взятое с горизонтальной проекции пирамиды, где оно и змеряется от горизонтальной проекции s вершины S. Через середину стороны 2 3 проводят прямую линию параллельно оси Ох и на ней в обе стороны откладывают отрезки, равные половине стороны основания. Этот размер берется с горизонтальной проекции основания. От точки О1 по оси Oz откладывают высоту пирамиды, которую берут с фронтальной или профильной проекции, где она изображается без искажения, так как параллельна оси Oz. Видимой боковой гранью пирамиды будет ближняя грань 1S2. Две другие грани боковой поверхности и основание невидимые.

4. Прямоугольная диметрия

В соответствии с ГОСТ 2.317—69 практические построения в прямоугольной диметрии следует выполнять пользуясь приведенными коэффициентами искажения: н = w=1 и v = 0,5, т.е. линии, параллельные оси Оy, уменьшаются в два раза..

Р асположение осей стандартной прямоугольной диметрии показано на рисунке.

В прямоугольной диметрии равные окружности диаметра d, лежащие в координатных плоскостях хОу и уО, проецируются в равные эллипсы, большая ось которых 2а = 1,06d, а малая — 2b = 0,35d, если пользуемся приведенными коэффициентами искажения. Окружность, расположенная в плоскости xOz, проецируется в эллипс с осями: большая ось которых 2а1 = 1,066d, малая ось — 2b1 = 0,95d. Диаметры окружности, параллельные координатным осям, спроецируются в отрезки, параллельные осям диаметрии l¹ = l² = d; l = 0,5d, при этом || Ох; l² || Оу; l³ || Oz.

Можно построить кроме указанных точек еще четыре точки, симметричные точкам, ограничивающим проекции диаметров, параллельных координатным осям. Тогда эллипс, как диметрию окружности, можно построить по его двенадцати точкам.

Замена эллипса овалом в прямоугольной диметрической проекции.

В прямо­угольной диметрии так же, как и в изометрии, малая ось эллипса параллельна той аксонометрической оси, которая перпендикулярна плоскости проекций, где расположена изображаемая окружность. В плоскости xOz малая ось располагается в направлении оси Оу, в плоскости хОу — в направлении оси Oz, в плоскости zOy — в направлении оси Ох. Большую ось эллипса проводят перпендикулярно малой оси. Построение начинают с центра овала (точки О₁). Затем через точку 0₁ проводят малую и большую оси и прямые, параллельные аксоно­метрическим осям, которые определяют данную плоскость. В плоскости xOz эти прямые про­водят параллельно осям Oz и Ох. в плоскости хОу — осям Ох и Оу, в плоскости zOy — осям Oz и Оу.

Р ассмотрим построение овала в плоскости хОz. Из точки 0₁ на прямых, па­раллельных осям Oz и Ох, откладывают отрезки равные радиусу заданной окружности, получают точки K₁ К₂, К₃ и К₄, которые будут точками касания дуг овала. Затем строят центры 1 и 2 малых дуг. Для этого от точки 0 ₁ А обе стороны по большой оси откладывают отрезки, равные ОD, где D — диаметр заданной окружности. Из центра 1 проводят дугу от точки К₁ до точки К₂, а из центра 2 — от точки К₃ до точки K₄. Известно, что точки касания лежат на прямых, соединяющих центры дуг. Значит, если точку касания К₂ соединить прямой линией с центром 1 и продолжить эту прямую до пе­ресечения ее с малой осью, то получим центр большой дуги (точка 3). Второй центр (точка 4) лежит на прямой, проведенной через точки 1О и 2. Из центров 3 и 4 проводят большие дуги овала от точки К₂ до точки К₁ и от точки K₃ до точки К₄. Затем овал обводят циркулем с мягким грифелем. На рисунке на плоскости xOz показано слева построение центров 1, 2, 3 и 4, а справа — построенный и обведенный овал.

Косоугольные аксонометрические проекции рекомендуется применять в тех случаях, когда окружности на изображаемых деталях расположены так, что все они находятся в положении, параллельном какой-либо плоскости проекций. Тогда детали располагают так, чтобы окружности изображались в аксонометри­ческой плоскости без искажения, т. е. как окружности. В косоугольных аксо­нометрических проекциях изображают также детали, имеющие такое взаимное расположение граней, что при изображении в прямоугольных аксонометриче­ских проекциях они сильно искажаются. В этих случаях подбирают такую косоугольную проекцию, которая дает изображение детали без искажения.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется аксонометрической проекцией?

2. Какие виды аксонометрии вы знаете?

3. Какая разница между прямоугольными и косоугольными аксонометрическими проекциями?

4. Как построить изометрию окружности?

5. Чем отличается изометрическая проекция от диметрической?