8. Задания для контроля уровня сформированности компетенций в учебное время.

Для защиты модуля необходимо рассмотреть следующие ситуационные задачи:

1. При испытаниях на сжатие кость ноги чаще всего ломается в голени. В самом узком месте голень имеет поперечное сечение 3 см². Какова максимальная сила сжатия, которую могут выдержать кости двух ног, не сломавшись? (Прочность на сжатие у голени почти такая же, как у бед­р^а)

2. Было установлено, что череп человека может быть пробит движу­щимся предметом с площадью сечения несколько квадратных сантимет­ров, если давление равно 5-10 Па. Предположим, что молоток (масса 2 кг, диаметр головки 2,5 см) падает с высоты к и ударяет человека по голове, при этом торец головки молотка параллелен поверхности черепа. Какова минимальная высота к, падение с которой приведет к пробою че­репа, если удар продолжается 1 мс?

3. К балке, закрепленной с двух концов, посередине прикреплен груз. Покажите схематически, что верхняя часть балки испытывает сжатие, а нижняя часть - растяжение.

4. Объясните, почему кривая на диаграмме напряжение - деформация может иметь различные формы в областях растяжения и сжатия.

5. Единичный кристалл вещества состоит из огромного числа атомов, выстроенных в определенном повторяющемся геометрическом порядке. Можно ли установить параметры растяжения такого вещества на осно­вании одной характеристики, например модуля Юнга? Объясните это. (Будут ли зависимости напряжение - деформация для такого кристалла одинаковы во всех направлениях?).

6. Если цилиндрический стержень изогнуть в окружность, длина стержня, измеренная вдоль его оси, не изменяется. Внешний периметр окружности оказывается больше первоначальной длины стержня; следо­вательно, эта область испытывает напряжение - растяжения. Предполо­жим, что стержень сделан из алюминиевого сплава, имеет диаметр 2 см и его изгибают в окружность радиусом R. Каково должно быть значение R, чтобы предел упругости материала при этом изгибании не был пре­вышен? (Указание. Определите деформацию внешней стороны стержня и приравняйте ее значение отношению допустимого напряжения к мо­дулю Юнга.)

7. Какая требуется сила, чтобы растянуть стальной стержень (диамет­ром 3 мм) настолько, чтобы его относительное растяжение составило 15%.

8. Медная трубка длиной 5 м имеет внешний диаметр 1,4 см, а внут­ренний - 1,2 см. Определить относительное растяжение трубки, если на нее вдоль оси действует сила 1200 Н.

9. Выразите коэффициент упругости к в законе Гука через модуль Юн­га материала.

10. Чему должен быть равен коэффициент упругости пружины, если при сжатии её на 6 см в пружине запасается потенциальная энергия, равная 20 Дж?

9. Учебно-материальное обеспечение Лабораторная работа № 1 изучение продольной упругой деформации

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследование закономерностей упругой продольной деформации тела.

Краткая теория

Действие одних тел на другие тела обычно обозначают как внешние силы, или нагрузки. Внешние силы могут распределяться по всему объему тела – объемные силы или же по его поверхности – поверхностные силы. Если поверхностные силы приложены к малому участку поверхности (к точке), то они считаются сосредоточенными силами. В СИ сосредоточенные силы измеряют в ньютонах (Н). Сила в 1 Н сообщает 1 кг массы ускорение 1 м/с² в направлении действия силы. Силы иногда измеряются в килограмм-силах (кгс), 1 кгс = 9,80665 Н  10 Н.

Под действием внешних сил тела изменяют свои размеры и форму, т.е. деформируются (лат. deformatio – искажение). Деформации, исчезающие после снятия нагрузок, называют упругими, а остающиеся в теле после снятия нагрузок – пластическими (остаточными).

Внутри тела между соседними частицами (атомами) всегда действуют внутренние силы, которые стремятся сохранить тело как единое целое, его размеры и форму. Внешние силы, наоборот, вызывают деформацию тела. Внешняя нагрузка вызывает изменение внутренних сил, т.е. появление дополнительных внутренних сил. При упругой деформации дополнительные внутренние силы стремятся вернуть атомы на прежнее место, восстановить изначальные размеры и форму тела. Таким образом, внутренние силы, возникающие в веществе (материале) тела при его деформировании, оказывают сопротивление внешней нагрузке. В связи с этим наука, изучающая деформации тел и связанные с этим процессы, получила название «Сопротивление материалов».

При увеличении внешних сил растут и внутренние силы. Однако внешняя нагрузка может оказаться настолько большой, что внутренние силы станут не в состоянии сохранять целостность тела, тогда произойдет его разрушение. Способность твердого тела воспринимать нагрузки без разрушения или появления в нем пластических деформаций называют прочностью. Прочность полностью зависит от внутренних сил. Чем больше внутренние силы, тем более значительную нагрузку выдерживает тело, тем выше его прочность, тем меньше деформация. Следовательно, для определения прочностных характеристик и деформаций необходимо знать внутренние силы.

С увеличением нагрузки на тело растет интенсивность внутренних сил во всех точках сечения. Когда интенсивность внутренних сил в некоторой точке станет достаточно большой, тогда в этой точке возникает трещина, что может привести к разрушению тела. Поэтому о прочности тел судят не по величине внутренних силовых факторов, а по их интенсивности. Мера интенсивности внутренних сил называется механическим напряжением.

Пусть на малую площадку S в сечении тела действует часть внутренних сил R. Отношение этой части внутренних сил к величине площадки называют средним напряжением: P_ср = R/S. Неограниченно уменьшая площадку (  0), получаем истинное значение напряжения P в данной точке сечения как предел среднего напряжения:

.

Векторная величина Р является полным напряжением в точке сечения. Размерность напряжения: [R]/[S] = Н/м², т.е. паскаль (Па).

Вектор P можно разложить на составляющие. Составляющая вектора полного напряжения, направленная перпендикулярно сечению вдоль оси тела, называется нормальным напряжением . Составляющая вектора P в плоскости сечения называется касательным (тангенциальным) напряжением . Если на тело действует лишь одна внешняя продольная сила F, то возникает одна нормальная внутренняя сила N, и в сечении создается только нормальное напряжение  = N/S, где S – площадь сечения.

Рис. 1. Продольные деформации при растяжении (А) и сжатии (Б).

l – длина стержня до приложения нагрузки, l₁ – длина стержня после приложения нагрузки, l – изменение длины стержня, F – внешняя сила.

При сжатии стержня его первоначальная длина уменьшается и становится равной , а площадь поперечного сечения возрастает, при растяжении – все наоборот. Изменение длины стержня называют линейной продольной деформацией (абсолютным изменением длины стержня). Интенсивность продольного деформирования оценивают относительной продольной деформацией

.

Гуком было экспериментально установлено, что в пределах упругого деформирования между нормальным напряжением и относительной продольной деформацией существует прямая пропорциональная зависимость:

(закон Гука)

где Е – коэффициент пропорциональности называют модулем продольной упругости (модуль упругости первого рода) или модулем Юнга, который измеряется в Па.

Из закона Гука следует, что модуль Юнга равен отношению напряжения к относительной деформации: . Если положить , т.е. при растяжении , то . Это означает, что модуль Юнга соответствует напряжению, при котором длина стержня изменяется вдвое при растяжении. Большинство реальных упругих материалов не могут выдержать такие нагрузки и, далеко не достигнув увеличения длины вдвое, разрушаются. Поэтому модуль Юнга является условной характеристикой упругости материалов. Его определяют экспериментально, измеряя малые деформации при заданных нагрузках.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Лабораторная установка состоит из жесткого цилиндра, в котором размещается исследуемый образец, поршня, свободно входящего в цилиндр с образцом. С поршнем соединена платформа для размещения грузов. На цилиндре укреплен микрометр, шток которого упирается в платформу (рис.2). При воздействии груза вследствие деформирования образца платформа опускается и давит на шток микрометра, стрелка которого показывает величину продольной деформации образца l. Начальная длина образца (до нагрузки) l = 55 мм = 0,055 м, площадь поперечного сечения образца S = 31410^-6 м². Цена деления микрометра 0,01 мм или 10^-5 м. В работе используется набор из четырех грузов: 200, 300, 400 и 600 г.

При проведении исследования деформациями поршня, платформы и штока манометра пренебрегаем.

Рис. 2. Схема лабораторной установки. l – первоначальная длина образца до приложения нагрузки, l1 – длина образца после приложения нагрузки, l – изменение длины образца при действии нагрузки.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Ознакомится с лабораторной установкой.

2. Установить «нуль» микрометра, вращая лимб, и записать в четвертый столбец таблицы 1.

3. Установить на платформу первый груз. Записать показание микрометра с учетом вращения его шкалы (один оборот 100 делений) в пятый столбец таблицы 1.

4. Добавляя грузы, записать показания микрометра для остальных трех грузов.

5. Снять грузы.

6. Повторить п.п. 2 – 4 трижды.

7. Вычислить изменение длины образца при деформации: , записать в 6-й столбец таблицы 1.

8. Найти среднее изменение длины: , выразить его в метрах и записать в 7-й столбец таблицы 1.

9. Перевести данную в килограммах величину всех грузов F в ньютоны (помним: 1 Н  0,1 кг), которое соответствует внутренней продольной силе N, и записать во 2-й столбец таблицы 1.

10. Вычислить продольное напряжение для всех грузов и записать в 3-й столбец таблицы 1.

11. Найти относительную деформацию для всех грузов и записать в 8-й столбец таблицы 1.

12. Построить зависимость продольного напряжения внутренних сил от продольной деформации (график зависимости , по горизонтальной оси – деформация , по вертикали – напряжение ).

13. Вычислить модуль продольной упругости (модуль Юнга) для всех грузов: , записать в 9-й столбец таблицы 1.

14. Сделать вывод по работе, отчет предъявить преподавателю.

Таблица 1

Экспериментальные и расчетные данные

F (г)	N (Н)	 (Па)	Показания микрометра			l (мм)		lср (м)				Е (Па)
			m0  до нагрузки (мм)	m1  после нагрузки (мм)
1	2	3	4	5	6		7		8		9