Контрольные вопросы

1. Что называется деформацией изгиба?

2. При каких нагрузках возникает деформация изгиба?

3. Какими величинами характеризуется деформация изгиба?

4. От чего зависит деформация изгиба?

5. Что представляет собой консольная балка?

6. Какие силовые факторы возникают при действии поперечной силы на консольную балку?

7. Как зависит величина прогиба и угол изгиба в сечении от нагрузки?

8. Какие стоматологические конструкции относятся к консолям?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Ориентировочно (для справки) модули упругости материалов:

сталь Е = (1,92 – 2,15) 10¹¹ Па,

латунь Е = (0,82 – 1,23) 10¹¹ Па,

алюминий Е = (0,68 – 0,75) 10¹¹ Па.

Лабораторная работа № 3 изучение деформации двухопорной балки

ЦЕЛЬ работы – изучение прогиба двухопорной балки для получения дополнительных знаний в области деформаций мостовидных протезов.

Краткая теория

Если концы бруса с прямолинейной осью располагаются на двух разных опорах, то его называют двухопорной балкой. Ось Z направлена вдоль оси балки, длина балки равна l (рис. 1).

Рис. 1. А. Двухопорная балка, F – нагрузка, – реакции связей в опорах, l – длина балки, cb – касательная к линии прогиба в точке c, т.е. в точке опоры,  – прогиб балки,  – угол поворота сечения балки на опоре c.

Б. Схема мостовидного протеза.

Концы балки в опорах могут закрепляться как жестко, так и шарнирно. При шарнирных связях под действием внешней силы в опорах c, d возникают только силы реакции связей (см. рис. 1., А), а реактивные моменты в опорах равны нулю. Равенство нулю суммы моментов в опорах служит условиями равновесия балки, которые можно записать в следующем виде:

 сумма моментов в опоре c,

 сумма моментов в опоре d.

Из этих уравнений определяются реакции опор. Для опоры c сумма момента внешней силы и момента реакции опоры d должна быть равной нулю: , откуда:

 сила реакции опоры d.

Для опоры d, соответственно, сумма момента реакции опоры c и внешней силы тоже должна быть равной нулю: , откуда:

 сила реакции опоры c.

Таким образом, чем ближе к опоре приложена внешняя сила F, тем больше реакция опоры. Если сила приложена посередине балки , то реакции опор .

Под действием внешней силы балка прогибается на величину , а сечение балки поворачивается на угол . Когда внешняя сила приложена к середине балки, величина прогиба максимальна в центральной части балки. В этом случае величина прогиба пропорциональна приложенной силе и третьей степени длины балки (расстояния между опорами):

,

где E – модуль упругости (модуль Юнга), J_x – момент инерции сечения, для балок круглого сечения , d – диаметр сечения балки.

Угол поворота сечения – угол изгиба балки равен углу между изначальной осью балки (до приложения нагрузки) и касательной к линии изгиба (см. рис. 1., А). Если внешняя сила приложена к середине балки, то максимальный угол изгиба возникает на опоре, где он равен:

.

Из формулы для прогиба балки можно выразить модуль упругости:

и подставить его в формулу угла прогиба: , после сокращения получаем формулу для угла изгиба балки на опоре в случае приложения нагрузки посередине балки:

.

Измерив величину прогиба балки, можно определить угол изгиба на опоре при известной длине l балки.

В практике стоматологической ортопедии нашли широкое распространение протезы, устанавливаемые на двух опорных зубах, и получившие название мостовидных протезов («мостов»). Они обычно изготавливаются из металлов или других материалов. Мостовидный протез работает примерно также как и двухопорная балка. Правда, следует заметить, что мостовидный протез соединяется с зубами жестко, но сами зубы в лунках (альвеолах) имеют некоторую подвижность. Поэтому рассмотренная двухопорная балка может служить приближенной моделью мостовидного протеза.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Лабораторная установка имеет в своем составе балку длиной l, расположенную на двух опорах, к середине балки подвешивается груз и подключается микрометр (рис. 2).

В работе используются три балки круглого сечения из разных материалов. Расстояние между опорами (длина балки) l = 260 мм, соответственно z = l/2 = 130 мм. Стальная балка: d = 13,5 мм, медная и алюминиевая балки: d = 14,5 мм.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Установить балку на опоры, записать ее материал, профиль, длину и момент инерции.

2. Установить микрометр на середине балки (как показано на рис. 2), выставить нуль микрометра, записать в таблицу.

3. Установить груз, записать его значение и показание микрометра (с учетом оборотов лимба) в таблицу.

4. Добавляя грузы, повторить п. 3 для всех грузов.

5. Снять грузы и повторить п.п. 3,4 три раза.

Рис. 2. Схема лабораторной установки.

6. Найти среднюю величину прогиба для каждого груза:

,

и перевести величину прогиба в метры, записать в таблицу.

7. Вычислить средний угол изгиба балки на опоре:

.

Результаты записать в таблицы для каждой балки.

8. Установить на опорах вторую балку и повторить п.п. 1 – 7. Занести полученные данные в таблицу 2.

9. Установить на опорах третью балку, повторить п. п. 1 – 7. Занести полученные данные в таблицу 3.

10. Построить зависимости среднего прогиба от нагрузки для всех балок на одном графике, выражая силу в ньютонах, прогиб в метрах.

11. Построить зависимости среднего угла изгиба балки на опоре от нагрузки для всех балок на одном графике, выражая силу в ньютонах, угол в градусах.

Сделать выводы по работе, отчет сдать преподавателю.

Таблица 1

Экспериментальные и расчетные данные для первой балки

F (г)	F (Н)	Показания микрометра		 (мм)		ср (м)		ср (град)
		До нагрузки m0 (мм)	После нагрузки m (мм)
F1
F2
F3

Таблица 2

Экспериментальные и расчетные данные для второй балки

F (г)	F (Н)	Показания микрометра		 (мм)		ср (м)		ср (град)
		До нагрузки m0 (мм)	После нагрузки m (мм)
F1
F2
F3

Таблица 3

Экспериментальные и расчетные данные для третьей балки

F (г)	F (Н)	Показания микрометра		 (мм)		ср (м)		ср (град)
		До нагрузки m0 (мм)	После нагрузки m (мм)
F1
F2
F3

Контрольные вопросы

1. Что называется деформацией прогиба?

2. От чего зависит деформация прогиба?

3. Что представляет собой двух опорная балка?

4. Какие силовые факторы действуют при нагружении двухопорной балки?

5. Какие стоматологические конструкции относятся к двухопорным балкам?

Лабораторная работа № 4

ИЗУЧЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - исследование закономерностей деформации кручения.

Краткая теория

Рассмотрим балку круглого сечения длиной l, жестко закрепленную одним концом и нагруженную вращающим моментом M (рис. 1). Каждое сечение балки поворачивается по отношению к изначально неподвижному сечению на угол  (поперечный угол закручивания), тем больший, чем дальше отстоит сечение от заделки: , (см. рис. 1). Продольная линия на поверхности балки смещается на угол  (продольный угол скручивания) по отношению к изначальной продольной линии. При этом элемент поверхности балки подвергается деформации чистого сдвига, и для него справедлив закон Гука (в области упругой деформации):

,

где  – касательное напряжение чистого сдвига, G – модуль сдвига,  – продольный угол скручивания балки.

Рис. 1. Продольный угол скручивания  и поперечный угол скручивания  при действии крутящего момента М на круглую балку. Длина балки l, расстояние z от заделки до сечения,  – радиус балки, ’ – хорда.

По условию совместности перемещений для изотропной балки угловые перемещения  и  связаны между собой соотношением:

,

где  – радиус балки, _z – поперечный угол закручивания в сечении z.

Подставив это выражение в закон Гука, получим: . Касательное напряжение  в любой точке поперечного сечения балки пропорционально величине крутящего момента, радиусу балки и обратно пропорционально полярному моменту инерции:

,

где M_k – крутящий момент, приложенный извне к балке, J_ – полярный момент инерции. Для балки круглого сечения , d – диаметр балки. Теперь закон Гука можно записать в таком виде:

,

откуда, после сокращения на , следует, что:

.

Таким образом, поперечный угол _z закручивания в некотором сечении круглой балки пропорционален крутящему моменту M_k и расстоянию z сечения от жесткой заделки, обратно пропорционален модулю сдвига G и полярному моменту инерции сечения J_.

Крутящий момент, приложенный на конце балки, действует по всей длине балки, т.е. величина крутящего момента одинаковая для любого сечения балки и равна: , где F – внешняя сила, r – плечо силы.

Для малых перемещений можно считать, что дуга примерно равна хорде, и принять ее за поперечную деформацию (рис. 1). Измерив поперечную деформацию , можно найти угол закручивания , для малых углов принимается, что , тогда:

.

Прикладывая к балке определенный крутящий момент, зная полярный момент инерции и угол закручивания, можно найти модуль поперечного сдвига материала балки:

.

При кручении балок прямоугольного профиля сечения искривляются, поэтому приведенные выше расчеты для них не справедливы.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Лабораторная установка состоит из двух кронштейнов (рис. 2., А). Базовый кронштейн фиксирует балку, закрепляется в опоре (тисках) и считается неподвижным (жесткая заделка). Базовый кронштейн имеет шкалу для отсчета расстояния z в миллиметрах. Измерительный кронштейн с микрометром устанавливается на расстоянии z = 100 мм (или на другом расстоянии по заданию преподавателя). На плечо r на конце балки подвешивается груз, и тем самым создается крутящий момент . При действии крутящего момента балка скручивается, и микрометр показывает величину , пропорциональную поперечной деформации. По этой величине из (см. рис. 2., Б) вычисляется угол скручивания в исследуемом сечении: .

В лабораторной работе используются набор грузов и две балки круглого сечения из разных материалов.

Первая стальная балка: диаметр 13,5 мм, полярный момент инерции 3,3210^-9 м⁴. Вторая латунная балка: диаметр 14,5 мм, полярный момент инерции 4,410^-9 м⁴.

Плечо силы 72 мм = 7210^-3 м, расстояние от оси балки до точки касания штока микрометра со шкалой 100 мм = 0,1 м.

Рис. 2. А – схема лабораторной установки. Б – определение поперечного угла скручивания  по результатам измерений;  – показание микрометра, h – расстояние от оси балки до точки касания штока микрометра со шкалой базового кронштейна.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Установить первую балку, как показано на рис. 2., А. Записать показание микрометра в таблицу 1.

2. Установить первый груз, вычислить крутящий момент в Нм, записать показание микрометра в таблицу 1 в миллиметрах.

3. Добавляя грузы, повторить п. 2 для всех грузов.

4. Снять грузы, затем повторить п.п. 2 – 3 три раза. Найти среднее значение деформации: , перевести его в метры и записать в таблицу.

5. Вычислить средний поперечный угол скручивания: для каждого груза и записать в таблицу.

6. Вычислить модуль поперечного сдвига для каждого груза и записать в таблицу.

7. Установить вторую балку и повторить пункты 2 – 6, записывая показания во вторую таблицу.

8. Построить графики зависимости угла скручивания от крутящего момента: для каждой балки на одном чертеже.

9. Сделать выводы по работе, отчет предъявить преподавателю.

Таблица 1

Экспериментальные и расчетные данные

F (г)	Mk (Нм)	Показания микрометра			 (мм)		ср (м)		ср (рад)		G (Па)
		до приложения нагрузки m0	после приложения m
F1
F2
F3