Лабораторная работа № 4(6 часов) Оценка значимости коэффициентов регрессии.

На этом этапе статистического анализа проверяют случайно или значимо каждый коэффициент регрессии b_j отличается от нуля.

Первое. Для оценки значимости коэффициентов вычисляют t- отношение.

(2.30)

где - среднее квадратичное отклонение коэффициента . определяется по закону накопления ошибок.

Отношение (2.30)можно вычислить и по формуле:

(2.31)

Опишем процедуру определения величины .

Представим исходный статистический материал (см.табл. 2.1) в матричной форме. Для этого добавим в табл.2.1 столбец значений фиктивной переменной X_oi , равные 1 (т.е. X_o1 =1, X_o2 =1,… X_oN =1). Тогда можно записать матрицу Х так:

(2.32)

Введем матрицу, транспонированную к Х

(2.33)

Перемножив матрицы Х^Т и Х , получим:

(2.34)

Определитель матрицы (Х^ТХ) равен:

(2.35)

Алгебраические дополнения элементов матрицы (Х^ТХ) определяется так:

(2.36)

Вычисляются диагональные элементы матрицы, обратной матрице (Х^ТХ) :

(2.37)

Затем вычисляется t – отношение.

(2.38)

Второе. Проверяется условие:

(2.39)

где - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости Р (обычно р=0.05);

f – число степеней свободы, равное числу степеней свободы дисперсии воспроизводимости .

Если условие (2.39) выполняется, то коэффициент считают статически значимым. Если условие (2.39) не выполняется, то коэффициент считают незначимым, т.е. равным нулю. Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии (2.2), а оставшиеся пересчитываются заново.

Коэффициенты регрессии (2.2), определенные по данным пассивного эксперимента, взаимно связаны и нельзя проверить значимость каждого коэффициента в отдельности. Поэтому отношение (2.31) можно рассматривать как средство ранжировки факторов. После исключения из уравнения незначимых факторов, расчет повторяется. Окончательное исключение фактора из уравнения регрессии выполняется в случае, если остаточная дисперсия уменьшается.

ПРИМЕР:

Оценка значимости коэффициентов регрессии.

Запишем матрицу Х (2.32) соответственно таблице 3.1:

Транспонирование к Х матрица Х^Т и имеет вид (2.33):

Перемножив матрицы Х^Т и Х получим (2.33):

Алгебраические дополнения элементов матрицы (Х^Т Х) определяется соответственно (2.36)

Вычисляем диагональные элементы (j=0,1,2)по формулам (2.37):

8,655; 0,0048; 0.029.

По формуле (2.31) рассчитываем t- отношение;

26,546; 2,409; 0,964.

Табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости F=0,05 и числе степеней свободы f=14;

Очевидно, что условие (2.39) выполняется только для отношения и . Таким образом, коэффициенты и значимые, коэффициент незначимый. Незначимый коэффициент необходимо исключить из уравнения регрессии (3.4), а оставшиеся коэффициенты пересчитать заново.

Прежде чем пересчитать коэффициенты уравнения, найдем остаточную дисперсию. Предположим, что все коэффициенты уравнения регрессии (3.4)значимые, тогда расчет а оставшиеся можно осуществить по формуле (2.40). значения уже определены (3.5). в результате получим (2.40):

=0,146. (3.7)

Число степеней свободы (2.40) f = 18.

Теперь из уравнения регрессии (3.4) исключаем коэффициент , из таблицы 3.1 удаляем столбец значений Х₂ и по оставшимся в таблице 3.1 данным рассчитываем коэффициенты и уравнения регрессии:

(3.8)

Коэффициенты уравнения (3.8) и определяются методом наименьших квадратов (2.14). Вывод расчетных формул для коэффициентов и описан в литературе /1,2,3/.

; (3.9)

(3.10)

по формулам (3.9), (3.10) и данным преобразованной таблицы 3.1 находим:

=-0,751; =371,87

уравнение регрессии (8.8) примет вид:

=371,87-0,751Х₁ (3.11)

Подставляя в уравнение (3.11) значения Х₁ из таблицы 3.1, находим для каждого опыта:

=39.93; =48,94; =47,44; =39.93;

=51,19; =47,44; =48,94. (3.12)

Используя полученные значения (3.12), данные таблицы 3.1 и формулу (2.40), вычисляем остаточную дисперсию для уравнения (3.11):

=3,632 (3.13)

Сравнивая значения (3.7) и (3.13) выясняем, что после исключения из уравнения (3.4) коэффициента остаточная дисперсия увеличилась значит, исключать этот коэффициент из уравнения регрессии (3.4) нельзя.

Таким образом, в качестве модели исследуемого процесса выбираем уравнение регрессии(3.4).