Тема I.5Нечеткие величины, числа и интервалы

1. Нечеткой величиной называется:

•  произвольное нечёткое множество А, заданное на множестве действительных чисел R

•  произвольное нечёткое множество А, заданное на множестве натуральных чисел N

•  произвольное нечёткое множество А, заданное на множестве рациональных чисел Q

•  произвольное нечёткое множество А, заданное на множестве целых чисел Z

2. Нечетким числом называется:

• нечёткая величина, функция принадлежности которой является выпуклой и унимодальной

• нечёткая величина, функция принадлежности которой является выпуклой

• произвольное нечёткое множество

• нечёткая величина, функция принадлежности которой является унимодальной

3. Нечетким интервалом называется:

• нечёткая величина, функция принадлежности которой является выпуклой и унимодальной

• нечёткая величина, функция принадлежности которой является выпуклой

• произвольное нечёткое множество

• нечёткая величина, функция принадлежности которой является унимодальной

4. На рисунке изображена функция принадлежности:

• нечёткого числа А∆=< 3, 1, 3>

• нечёткого числа А∆=< 1, 3, 2>

• нечёткого числа А∆=< 2, 3, 6>

• нечёткого числа А∆=< 1, 3, 3>

5. На рисунке изображена функция принадлежности:

• трапециевидного нечёткого интервала А_Т<4, 6, 2, 1>

• трапециевидного нечёткого интервала А_Т<2, 4, 6, 7>

• нечёткого числа А∆=< 2, 4, 7>

• нечёткого числа А∆=< 2, 6, 7>

Тема I.6Определение и характеристики нечетких отношений

1. Нечёткое отношение Q, заданное на универсуме Х=Х₁ × Х₂ ×…× Х_n символически определяется выражением:

• Q={<<х1, х2,…, хn>, µ_Q<х1, х2,…, хn>>│xi Х_i, i=1,…,n, µ_Q [0,1]}

• Q={<<х1, х2,…, хn>, µ_Q<х1, х2,…, хn>>│xi Х_i, i=1,…,n, µ_Q (0,1)}

• Q={<х1, х2,…, хn>│xi Х_i, i=1,…, n}

• Q={<<х1, х2,…, хn>, µ_Q<х1, х2,…, хn>>│xi Х_i, i=1,…,n, µ_Q≥0}

2. Пусть нечёткое отношение Q задано на универсуме Х=Х₁ × Х₂ ×…× Х_n Носитель Q_s нечёткого отношения Q определяется как:

• Q_s={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ ˃0}

• Q_s={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ = 1}

• Q_s={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ ϵ[0;1]}

• Q_s={<<х1, х2,…, хn>, µ_Q<х1, х2,…, хn>>│xi Х_i, µ_Q [0,1]}

3. Пусть нечёткое отношение Q задано на универсуме Х=Х₁ × Х₂ ×…×Х_n Ядро Q₁ нечёткого отношения Q определяется как:

• Q₁={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ ˃0}

• Q₁={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ = 1}

• Q₁={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ ϵ[0;1]}

• Q₁={<<х1, х2,…, хn>, µ_Q<х1, х2,…, хn>>│xi Х_i, i=1,…,n, µ_Q [0,1]}

4. Пусть нечёткое отношение Q задано на универсуме Х=Х₁ × Х₂ ×…×Х_n Границы нечёткого отношения Q определяется как:

• G_Q ={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ ≥0,5}

• G_Q ={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ = 1}

• G_Q ={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ ϵ(0;1)}

• G_Q ={<<х1, х2,…, хn>, µ_Q<х1, х2,…, хn>>│xi Х_i, i=1,…,n, µ_Q [0,1]}

5. Пусть нечёткое отношение Q задано на универсуме Х=Х₁ × Х₂ ×…×Х_n Множество точек Т_Q перехода нечёткого отношения Q определяется как:

• Т_Q ={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ = 0,5}

• Т_Q ={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ ≥0,5}

• Т_Q ={˂x1, х2,…,xn˃| хiϵХi, х1, х2,…,xn˃ ϵ[0;1]}

• Т_Q ={<<х1, х2,…, хn>, µ_Q<х1, х2,…, хn>>│xi Х_i, i=1,…,n, µ_Q [0,1]}

6. Операции над нечёткими отношениями

1. Нечёткое отношение Q задано на Х₁×Х₂, а нечёткое отношение R задано на декартовом произведении универсумов X₂×Х₃. Функция принадлежности µ_{Q R} композиции Q R бинарных нечётких отношений Q и R определяется формулой:

• µ_{Q R}(<xi, хk>)= min{µ_Q(<хi, хj>), µ_R(<хj,хk>)}}

• µ_{Q R}(<xi, хk>)= min{µ_Q(<хi, хj>), µ_R(<хj,хk>)}}

• µ_{Q R}(<xi, хk>)= max{µ_Q(<хi, хj>), µ_R(<хj,хk>)}}

• µ_{Q R}(<xi, хk>)= max{µ_Q(<хi, хj>), µ_R(<хj,хk>)}}

2. Нечёткое отношение Q задано на Х₁×Х₂, а нечёткое отношение R задано на декартовом произведении универсумов X₂×Х₃. Композиция Q R бинарных нечетких отношений Q и R является нечётким отношением, заданным на множестве :

• Х₁×Х₂

• X₂×Х₃

• X₁×Х₃

• X₂×Х₂