Оценка безотказности изделий параметрическим методом

1400 1500 1600 1700 1800 t, ч

Рис. П.3.1. Ранжированная временная диаграмма наработок до отказа t ч_i, i = 1,n, и наработок до цензурирования τ_j, j = 1, 2,…, m (однократно цензурированная выборка).

Рис. П.3.2. Гистограммы статистических оценок f*(t), λ*(t).

N

Рис. П.3.3. Теоретические зависимости f(t), λ(t) для различных законов распределения: экспоненциального (b=1), нормального (b>1), Вейбулла (b<1, b>1).

n

m

1400 1500 1600 1700 1800 t, ч

Рис. П.3.2. Ранжированная временная диаграмма наработок до отказа

t ч_i, i = 1,n, и наработок до цинзурирования τ_j, j = 1,m (многократно цензурированная выборка).

1400 1500 1600 1700 1800 t, ч

Рис. П.3.4. Ранжированная временная диаграмма наработок до отказа

t ч_i, i = 1,n, и наработок до цинзурирования τ_j, j = 1,m (многократно цензурированная выборка).

Таблица П. 3.1

Рис. П.3.5. Определение доверительных границ.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Примеры оценок показателей безотказности изделий непараметрическим методом

Пример П.4.1. При испытании N=100 невосстанавливаемых изделий получено n = 10 отказов. Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы P при α=0,95, где α - доверительная вероятность.

По табл. П.5.5, П.5.6 приложения 4 для n=10 и n/N=0,l находим R1=l,81, R2=0,61.

По уравнениям (4.13) находим

Для вероятности безотказной работы

P= 1-0,1=0,9,

P_н=l-q_в =1-0,164 = 0,836,

P_в = 1- q_н = 1 -0,055 = 0,945.

Пример П.4.2. При испытании N = 100 невосстанавливаемых изделий не получено ни одного отказа. Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы при α =0,90. По табл. П.5.4 приложения 5 для доверительной вероятности α = 0,95, n = 0, N = 100

находим Ro = 2,28. По уравнению (4.12) для вероятности отказа получим q_н = 0;

q_в = R₀/N = 2,28/100 = 0,0228.

Для вероятности безотказной работы будем иметь

P = 1 – 0,1 = 0,9,

P_н= 1 –q_в= 0,977,

P_в = 1 – q_н = 1.0.

Пример П.4.3. В результате обработки данных по надежности изделий функциональной системы самолетов, эксплуатирующихся по состоянию, были сформированы цензурированные данные 50 изделий.

Наработки до отказа (n = 23): 2292, 5440, 880, 2996, 1711, 14610, 10806, 4652, 1638, 1287, 2850, 4830, 2700, 755, 3438, 581, 1904, 23289, 12036, 8550, 742, 1064, 2640 ч.

Наработки до цензурирования (m = 27): 25 изделий были сняты с наблюдения при наработке 3600 ч., а два изделия при наработке 25000 ч.

Для внедрения прогрессивного метода эксплуатации изделий на всем парке самолетов требуется оценить показатели надежности.

1) Строим вариационный ряд или ранжированную временную диаграмму наработок до отказа τ_i, i = 1,…,n и цензурирования t_j, j = 1,…,m

581, 742, 755, 880, 1064, 1287, 1638, 1711, 1904, 2292, 2640, 2700, 2850, 2996, 3438, 3600(25), 4652, 4830, 5440, 8550, 10806, 12036, 14610, 23289, 25000 (2).

2) По вариационному ряду ( ранжированной временной диаграмме) определяем интервалы наблюдения (l = 2)

(0,τ₁₅) (0;3438),

(τ₁₆,τ₂₃) (3438;23289).

Для каждого интервала наблюдения определяем

n₁=15, m₀=0, m₂=2,

n₂=8,

N_э1 = N-n₀ = 50, .

3) Определяем значения эмпирической функции распределения F*(t) по (4.14) или (4.15).

Таблица П. 4.1

Значения функции распределения F*(t_i)

1	F*(ti)	I	F*(ti))	I	F*(ti)	I	F*(ti)	I	F*(ti)
1	0,02	6	0,12	11	0,22	41	0,37	46	0,72
2	0,04	7	0,14	12	0,24	42	0,43	47	0,79
3	0,06	8	0,16	13	0,26	43	0,51	48	0,86
4	0,08	9	0,18	14	0,28	44	0,58
5	0,10	10	0,20	15	0,30	45	0,65

4) Определим точечные оценки вероятности безотказной работы за 5000, 10000 и 20000 ч.

Заданные наработки:

t

d_i= ( t¹₃-τ_i-1) / (τ_i- τ_i-1 ) =( 5000-4830 )/( 5440-4830) = 0,279

¹₃= 5000 ч; I= 43; τ_i= 5440; τ_i-1 =4830;

Р*(5000) = 1 - [d_iF*(t_i) + (1 - d_i)F*(t_{i- 1})] = 1 - (О,279 • 0,51 + 0,721 • 0,43) = 0,55

t²₃=10000 ч,I=45, τ_i= 10806; τ_i-₁ =8550;

d_i=( t¹₃-τ_i-1 )/( τ_i- τ_i-1 ) = (10000-8550)/ (10806-8550) = 0,567

P*(10000) = 1 - (0,567 • 0,65 + 0,433 • 0,58) = 0,38,

t³₃= 20000 ч; I = 48; τ_i = 23289; τ_i-₁ = 14610;

d_i=( t¹₃-τ_i-1 )/( τ_i- τ_i-1 ) = (20000-14610) /(23289-14610) = 0,621

P*(20000) = 1 - (0,621 • 0,86 + 0,379 • 0,79) = 0,16.

5) Определим среднюю наработку до отказа

6) Вычисление 95% - й наработки до отказа показывает, что она лежит между вторым и третьим членами вариационного ряда (таб. П.4.1),

т.е. F*(t_i) = 0,05, следовательно, i = 3; F*(t_i-1) = 0,04;

F*(t_i) = 0,06; τ _i-1 = 742 и τ_i = 755;

d₂=( (100-γ)/ 100 – F*(τ _i-1) )/( F*(τ _i) - F*(τ _i-1) ) = (0,05-0,04)/ 0,02=0,5.

T* _γ = (1 - d₂) τ _i. + d2 τ 1 = 0,5 • 742 + 0,5 • 755 = 748,5 ч.

7) Доверительный интервал для значений вероятностей безотказной работы P*(t₃) оценим, задавшись доверитель­ной вероятностью β = 0,95.

t¹₃ = 5000ч; I –1=42; I=43; l=2, во втором интервале: ν=23 ; ύ=25;

σ_i= [1-0,43] √ 18/(25· 27)= 0,57 · 0,I4=0.08,

Для β=0,95 (односторонние доверительные границы) Ư_β=1_,645;

P_н =P*(t_з)-Ư_βσ_İ=0,55 -1,645 0,08 =0,42

P_В =P*(t_з)+Ư_βσ_İ=0_,55 + 1,645 -0_f08 • 0,68

.

t₃ =10000 ч, I-1=44, Ii=45, l=2

σ_i= [1-0,58] √ 20/25 27= 0.06,

P_н =0,38 -1,645 0,06 =0,282;

P_В =0,38 + 1,645 0,06 =0,478

_,t₃ =20000 ч, I-1=47, I=48, l=2

σ_i= [1-0,86] √ 23/25· 27= 0.02,

Р_н = 0,16 - I, 645 0.02 =0,128,

P_В =0,16 + 1,645 • 0,02 - 0.I92,

Результаты оценки приведены на рис. П. 4.1.

5000

15000

20000

Рис. П.4.1. Оценка доверительных интервалов P(t₃)

Вывод.

Из-за низкой надежности (Р*(t =10000)< 0,3 после наработки 10000ч гидравлические фильтры эксплуатировать нецелесообразно.

Значение средней наработки до отказа Т* показывает целесообразность замены изделий на I-ю категорию с периодичностью в 9705 ч.

1,0

Рис. П.4 .2. Временная диаграмма однотипных восстанавливаемых изделий: N – число наблюдаемых объектов (N = N₀k); N₀- число самолетов, k – число однотипных изделий на самолете.

Рис. П.4.3. График P(t) для восстанавливаемых изделий.

.

Показатели надежности

Система

Изделие

P(t = 2ч)

P(t = 300ч)

P_в(t_зад)

T_{р ср}

P(t = 2ч)  0,98

да