11.3. Векторний спосіб задання руху точки
П
оложення
рухомої точки М
можна визначити її радіусом-вектором
,
що проведений з нерухомої точки О
(рис. 11.1). Під час руху точки її
радіус-вектор змінюється з часом за
модулем і за напрямком. Отже, він є певною
векторною функцією від скалярного
аргумента – часу
:
.
(11.1)
Рівняння (10.1) називається рівнянням руху точки у векторній формі і являє собою закон руху даної точки.
Введемо поняття годографа вектора. Годографом будь-якого вектора називається лінія, яку описує кінець цього вектора, що змінюється у часі, якщо його початок знаходиться в нерухомій точці.
Годограф
радіуса-вектора
точки М є траєкторією цієї точки.
Потрібно зауважити, що векторний спосіб зручний при теоретичних викладках своєю наочністю і компактністю запису. Він також є базовим при визначенні кінематичних характеристик іншими способами. Але векторний спосіб непридатний для практичних розрахунків, і тому кожного разу необхідно переходити до координатного чи натурального способів задання руху.
11.4. Координатний спосіб задання руху точки
Положення
рухомої точки відносно обраної системи
відліку визначається її координатами.
Якщо обрано декартову систему координат
,
то для вивчення руху точки повинні бути
задані координати цієї точки (рис. 11.2)
як функції часу –
:
;
;
.
(11.2)
Ф
ункції
(11.2)
називаються рівняннями руху точки в
координатній формі.
Ці рівняння визначають закон руху точки, бо дозволяють для кожного моменту часу вказати положення точки у просторі.
Якщо
точка рухається в одній площині наприклад,
то
рівняння руху матимуть вигляд:
; . (11.3)
Водночас (11.2) і (11.3) являють собою рівняння траєкторії точки в параметричній формі.
Щоб отримати рівняння траєкторії точки в координатній формі, треба з рівнянь (11.2) чи (11.3) вилучити певним чином параметр .
Між
координатним і векторним способами
існує зв’язок..
Оскільки проекції радіуса-вектора
точки М
(рис. 11.2) на координатні осі дорівнюють
координатам точки М,
то
,
(11.4)
де
x,
y,
z
–
координати точки М,
а
,
і
– орти координатних осей.
Рівність (11.4) дозволяє перейти від координатного способу визначення руху точки до векторного.
11.5. Натуральний спосіб задання руху точки
При натуральному способі задання руху точки задається (рис.11.3):
– траєкторія руху точки відносно обраної системи відліку;
– початок
відліку та додатний напрям дугової
координати
;
– рівняння руху точки по траєкторії, тобто дугова координата S повинна бути задана як функція часу :
.
(11.5)
Рівняння (11.5) визначає закон руху точки за заданою траєкторією.
Зауважимо різницю між дуговою координатою і шляхом, який пройшла точка за певний проміжок часу.
Дугова координата може збільшуватись чи зменшуватись в залежності від напрямку руху точки. Шлях – це монотонно зростаюча функція часу.