13.5. Приклад розв’язання задачі
Приклад. Рух точки М над горизонтальною поверхнею, задано рівняннями:
;
,
де
,
і
– сталі
величини сталі. Визначити дотичне і
нормальне прискорення точки, а також
закон зміни радіуса кривини її траєкторії.
Р
озв’язання.
Вилучивши час t
із заданих рівнянь руху, одержимо
рівняння траєкторії точки у координатній
формі:
.
Це рівняння параболи. Частина цієї параболи, що знаходиться над горизонтальною поверхнею, є траєкторією точки (рис. 13.3).
Визначимо закони зміни швидкості і прискорення точки:
;
;
;
;
;
.
Знаходимо дотичне прискорення точки:
.
Для нормального прискорення точки маємо:
;
;
.
Підставляючи значення і V в останню формулу, знайдемо закон зміни радіуса кривини траєкторії точки: за часом:
.
Якщо
врахувати із рівнянь руху точки, що
,
і підставити цей вираз у чисельник
останньої формули, то отримаємо закон
зміни радіуса кривини відповідно до
зміни ординати
точки
:
.
Розділ vііі. Кінематика елементарних рухів твердого тіла Лекція 14 поступальний і обертальний рухи твердого тіла
Рух тіла відомий, якщо можна вивчити рух всіх його точок. Але ця задача не зводиться до кінематики кожної точки тіла.
Задати положення тіла у цілому так, щоб мати змогу визначити положення всіх його точок, можна за допомогою відповідних незалежних геометричних параметрів. Незалежні параметри, що однозначно визначають положення твердого тіла у просторі відносно заданої системи відліку, називаються узагальненими координатами, їх число визначає кількість ступенів вільності тіла.
Число рівнянь руху дорівнює кількості ступенів вільності. Для вільного руху твердого тіла це число дорівнює шести. При інших рухах тіла, в залежності від накладених в’язей, кількість ступенів вільності, і рівнянь його руху буде меншим.
Розглянемо найпростіші рухи твердого тіла: поступальний і обертальний навколо нерухомої осі, а потім складний плоскопаралельний рух.
14.1. Теорема про властивості поступального руху твердого тіла її наслідки
Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, пов’язана з тілом, під час руху залишається паралельною сама собі.
Прикладами поступального руху тіла можуть бути: рух поршня двигуна, рух кузова автомобіля на прямолінійній ділянці дороги, рух педалі велосипеда, колеса якого котяться по прямій дорозі і т. д.
Траєкторії точок тіла при поступальному русі можуть бути прямі або будь-які завгодно криві лінії.
Т
еорема.
При поступальному русі твердого тіла
всі його точки описують однакові за
формою траєкторії і в кожний момент
часу мають геометрично рівні швидкості
та прискорення.
Для
доведення теореми візьмемо відрізок
АВ
в тілі, що рухається поступально відносно
системи відліку
(рис. 14.1). Нехай
і
– радіуси-вектори точок
і
,
які проведені з точки
.Із
векторного трикутника
маємо:
.
(14.1)
В
цьому рівнянні вектор
=
,
оскільки розглядається поступальний
рух абсолютно твердого тіла, а
і
– змінні вектори.
Із формули (14.1) видно, що траєкторія точки є паралельним перенесенням траєкторії точки на сталий вектор . Отже, при поступальному русі тіла його точки описують однакові за формою траєкторії.
Визначивши похідну за часом від обох частин виразу (14.1), маємо:
.
Тут
,
оскільки
=
,
тобто
.
(14.2)
Диференціюючи (14.2) за часом, одержимо
або
.
(14.3)
Із (14.2) і (14.3) бачимо, що при поступальному русі твердого тіла всі його точки у даний момент часу мають геометрично однакові швидкості і прискорення.
Наслідок. Поступальний рух твердого тіла цілком визначається рухом однієї будь-якої його точки, яка називається полюсом.
У декартовій системі координат рівняння поступального руху твердого тіла мають вигляд:
;
;
,
(14.4)
де
,
,
– координати полюса.
Тут маємо три ступеня вільності три узагальнені координати, три рівняння руху.
Для вивчення поступального руху тіла справедливі закономірності кінематики точки.