2.2.3. Приложения дифференциала к приближенным вычислениям

Поскольку дифференциал есть главная часть приращения, то имеет место приближенное равенство:

ydy или y(a+x)-y(a)dy.

Это означает, что y(a+x)y(a)+dy.

Учитывая формулу (5), имеем y(a+x)y(a)+y(a)x (dx=x).

2.2.4. Производные и дифференциалы высших порядков

Как и ранее, будем рассматривать производную , а, следовательно, и

дифференциал , как функции аргумента х.

Назовем второй производной (вторым дифференциалом) производную (дифференциал) от первой производной (первого дифференциала).

Обозначения: для второй производной и d²y, d²f для второго дифференциала.

По определению для производной: и для дифференциала: d²y=d(dy).

В силу формулы (5) ,

то есть . Отсюда т.е. вторая производная есть отношение второго дифференциала функции к квадрату дифференциала аргумента.

Как и для первых производной и дифференциала, y и d²y можно рассматривать как функции аргумента х и определить третью производную и третий дифференциал.

Обозначения:

По определению .

Нетрудно видеть, что d³y = ydx³ .

И вообще, производной (дифференциалом) порядка n называют производную (дифференциал) от производной (дифференциала) порядка (n – 1).

Обозначения: для производной,

dⁿf, dⁿy - для дифференциала.

По определению .

Методом математической индукции нетрудно доказать, что dⁿy=y⁽ⁿ⁾d xⁿ

и, следовательно, .

2.2.5. Механический смысл второй производной

Рассмотрим прямолинейное движение тела с заданным законом движения S = S(t). Нами было показано, что мгновенная скорость и мгновенное ускорение могут быть найдены следующим образом:

V(t) = S(t), a(t) = V(t).

Тогда a(t) = (S(t)) = S(t).

Итак, мгновенное ускорение есть вторая производная от пути по времени при прямолинейном движении с заданным законом.

2.2.6. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна в интервале (a, b). Если в некоторой точке интервала с функция дифференцируема и принимает наибольшее или наименьшее значение, то = 0.

Доказательство. Пусть, например, значение в точке с - наибольшее.

Тогда .

В силу критерия существования предела односторонние пределы

существуют и равны f(c).

Но для , поэтому .

А для , поэтому .

Таким образом, f(c) = 0, что и требовалось доказать.

Теорема Ролля. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема внутри него и f(a) = f(b), то найдется с (a,b) так, что f(c) = 0.

Доказательство. Так как функция y = f(x) непрерывна на [a; b], то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на отрезке [a; b]. Если m = M, то функция постоянна на [a; b] и f’(c) = 0 всюду внутри [a; b].

Если же m  M, то хотя бы одно из этих значений в силу условия f(a) = f(b) достигается внутри [a; b]. Если это происходит в точке х = с, то в силу теоремы Ферма f(c) = 0, что и требовалось доказать.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля.

На графике функции y = f(x), удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, найдется точка (с, f(c)), в которой касательная параллельна оси ОХ.

Утверждение вытекает из теоремы Ролля и того, что , где  - угол наклона касательной к оси ОХ (см. рис. 2.4).

Алгебраическая интерпретация теоремы Ролля.

Если функция y = f(x) дифференцируема на всей числовой оси, то между любыми двумя корнями этой функции находится хотя бы один корень производной.

Теорема Лагранжа. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема внутри него, то найдется точка с  (a, b) так, что

.

Ниже мы приведем доказательство более общей теоремы, из которой сформулированное утверждение вытекает как частный случай. Выделяем же мы теорему Лагранжа из-за приводимых следствий к ней.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема внутри него, то на графике функции y = f(x) найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей концы графика.

В самом деле, уравнение хорды, проходящей через концы графика

(a, f(a)), (b, f(b)) имеет вид:

.

Откуда следует, что угловой коэффициент хорды есть

. Но эта величина в силу теоремы Лагранжа совпадает с f(c), являющейся угловым коэффициентом касательной в точке (с, f(c)).

Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в окрестности точки а, тогда приращение функции в точке а может быть представлено в виде :

, .

Действительно, применим теорему Лагранжа к отрезку [a, a+ x] (для определенности считаем, что x > 0).

Тогда .

Следовательно, , где . Ясно, что .

Итак, , .

Теорема Коши. Если функции y = f(x), y = (x) непрерывны на отрезке

[a; b], дифференцируемы внутри него и то найдется точка с  (a, b) такая, что

.

Доказательство. Рассмотрим функцию:

.

Очевидно, эта функция непрерывна на [a; b], дифференцируема внутри него вместе с функциями f(x) и (x). Кроме того, прямая подстановка показывает, что F(b) = F(a) = 0. Таким образом, функция y = F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В силу этой теоремы найдется точка с  (a, b) так, что F(c) = 0. Вычислим F(с):

.

Следовательно,

.

Что и требовалось доказать.

Отметим, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при (x) = х.

Правило Лопиталя. Пусть функции f(x), (x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, причем (a)  0. Тогда, если f(a) = (a) = 0, то

Доказательство. Заметим, прежде всего, что

Покажем, что и

В самом деле, пусть, например, х > a, тогда на отрезке [a; x] имеем в силу теоремы Коши

где с  (а, х).

Ясно, что, если х  а, то и с  а, поэтому

.

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. В приведенной формулировке правило Лопиталя раскрывает неопределенности вида . Пользуясь связью между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами, нетрудно убедиться в том, что правило Лопиталя справедливо и для неопределенностей вида .

Замечание 2. Правило Лопиталя значительно упрощает вычисление многих пределов. Например, первый спецпредел (на доказательство которого потрачено столько сил) вычисляется следующим образом: