2.3.2. Экстремумы

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] .

Мы будем говорить, что функция имеет в точке c  (a; b) максимум (минимум), если для всех х из достаточно малой окрестности точки с (xc) имеем f(c) > f(x) (f(c) < f(x)).

Максимум и минимум объединяются общим названием - экстремум функции.

Необходимые условия экстремума.

Если функция y = f(x) имеет в точке с экстремум и дифференцируема в этой точке, то f(c) = 0 .

Доказательство. Из определения экстремума следует, что значение f(c) является наибольшим или наименьшим на отрезке [c - h, c + h], если h подобрано достаточно малым. По теореме Ферма f(c) = 0, что и требовалось доказать.

Замечание. Из приведенных необходимых условий следует, что функция может иметь экстремум только в критических точках. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. В самом деле, функция y = x³ имеет точку х = 0 в качестве критической (y=3x², y(0)=0).

Однако эта точка не является точкой экстремума, что очевидно из графика этой функции.

Достаточные условия экстремума.

Пусть непрерывная функция y = f(x) имеет производную в окрестности критической точки х = с, исключая, быть может, саму точку. Если при переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в критической точке функция имеет максимум. Если знак производной меняется с минуса на плюс, то функция имеет минимум в этой точке. Если же знак производной не меняется, то в рассматриваемой критической точке экстремума нет.

Доказательство. Предположим, для определенности, что при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус. Тогда найдется достаточно малое фиксированное h > 0 такое, что для x  (c - h, c) y > 0,

а для x  (с, c + h) y < 0.

В силу достаточных условий монотонности на отрезке [c - h, c] функция возрастает, а на отрезке [с, c + h] - убывает.

По определению возрастания f(x) < f(c), x  (c - h, c),

а по определению убывания f(c) > f(x), x  (с, c + h).

Но это означает, что для всех x  (c - h, c)  (c, c + h) имеет место неравенство

f(c) > f(x). По определению точка х = с есть точка максимума, что и требовалось доказать.

Остальные случаи (- +, + +, - -) рассматриваются аналогично.

Схема исследования функции на экстремум.

Из приведенных выше утверждений вытекает, что для нахождения экстремумов функции следует:

1) найти область определения функции D(y);

2) найти y;

3. найти критические точки функции, выяснив, где y = 0 или y =  (либо не

существует);

4) разбить D(y) на интервалы и определить знак y в каждом из них;

5) пользуясь достаточными условиями экстремума, найти экстремумы функции.

Замечание. Поскольку исследования на монотонность и экстремумы, по существу, дублируют друг друга, их часто проводят одновременно и исследование оформляют в виде следующей таблицы:

D(y)	x0	(x0, x1)	x1	(x2, x3)	x2	(x2, x3)	xk-1	(xk-1, xk)
y	0	+	(не сущ.)		0	+
y			ymax		ymin

В этой таблице y(x₀) = 0, y(x₂) = 0, ..., y(x₁) =  (либо не сущ.).

На интервалах (x₀, x₁), (x₂, x₃), ... функция возрастает, на интервалах

(x₂, x₃),... функция убывает. В точке х₁ функция имеет максимум, в точке х₂ функция имеет минимум.