2.3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

2.3.1. Монотонность

Мы будем говорить, что функция y = f(x) возрастает на отрезке [a; b], если всюду на этом отрезке большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. из того, что x₁, x₂  [a; b] и x₂ > x₁, следует, что f(x₂) > f(x₁).

Мы будем говорить, что функция y = f(x) убывает на отрезке [a; b], если всюду на этом отрезке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. из того, что x₁, x₂  [a; b] и x₂ > x₁, следует, что f(x₂) < f(x₁).

Говорят, что функция монотонна на отрезке [a; b], если она либо возрастает, либо убывает на этом отрезке.

Пусть функция монотонна на отрезке [a; b] и x  (a; b). Дадим аргументу приращение х, не выводящее за пределы отрезка [a; b]. Анализируя определения, нетрудно заметить, что y=f(x+x)-f(x) и х имеют одинаковые знаки в случае возрастания и различные в случае убывания. Таким образом, приходим к следующему утверждению.

Теорема. Функция y = f(x) возрастает (убывает) на отрезке [a; b], тогда и только тогда, когда в каждой внутренней точке этого отрезка

Необходимые условия монотонности.

Если функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b] и дифференцируема внутри него, то y0 (y0).

Доказательство. Если функция возрастает (убывает), то в силу предыдущей теоремы

Переходя в этом неравенстве к пределу и пользуясь свойствами пределов, получим:

.

Что и требовалось доказать.

Замечание. Условия предыдущей теоремы являются лишь необходимыми, но не достаточными условиями монотонности. Например, функция y = const не является монотонной, но y = 0.

В связи с этим приводим достаточные условия монотонности.

Достаточные условия монотонности.

Если функция y = f(x) в каждой внутренней точке отрезка [a; b] имеет производную и y’ >0 (y’ < 0), то на отрезке [a; b] функция возрастает (убывает).

Доказательство. Пусть, например, y > 0 на [a,b]. Тогда по определению производной В силу основной теоремы теории пределов , где (x) - бесконечно малая величина при х  0. В силу того, что (x) сколь угодно мало, знак такой же , как и знак y, если х достаточно мало. Но если функция y = f(x) возрастает.

Что и требовалось доказать.

Точки, в которых может измениться характер монотонности функции, называют критическими точками.

Из условий монотонности следует, что критическими являются лишь те точки, в которых может измениться знак производной.

Итак, критическими точками функции называют такие точки из ее области определения, в которых производная либо обращается в нуль (y’ = 0), либо не существует (“y = ”).

Из приведенных утверждений вытекает следующая схема исследования функции на монотонность:

1. Найти область определения функции D(y).

2. Найти производную y.

3. Найти критические точки функции, выяснив, где y = 0 или не существует.

4. Критическими точками разбить D(y) на интервалы и определить знак y (например, методом пробной точки) в каждом из этих интервалов.

5. Выписать интервалы убывания и возрастания.