Пример решения.

Определить линию пересечения треугольников ABC и DEF. Определить видимость.

По заданным координатам построим горизонтальные и фронтальные проекции плоских фигур. Для определения линии пересечения двух плоских фигур необходимо дважды решить задачу о пересечении прямой с плоскостью, причем в качестве такой прямой можно взять любую из сторон данных фигур. Определим точку пересечения стороны AB треугольника ABC с треугольником DEF. Для этого проведем через сторону AB вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость β (на примере отмечен фронтальный след этой плоскости f_0β), и определим линию пересечения m вспомогательной проецирующей плоскости с плоскостью треугольника DEF. Так как проецирующая плоскость β обладает свойством собирательности, то фронтальная проекция m совпадет с фронтальным следом плоскости β. Для того, чтобы построить горизонтальную проекцию прямой m необходимо отметить горизонтальные проекции вспомогательных точек 1 и 2 на соответствующих сторонах треугольника DEF (DE и DF). Точка пересечения прямой m и стороны AB и есть первая точка пересечения ABC с плоскостью DEF (точка K).

Этот же алгоритм необходимо повторить еще раз, взяв любую из оставшихся сторон фигур (на примере через сторону EF треугольника DEF проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость γ, заданная горизонтальным следом h_0γ) и определить еще одну точку пересечения двух плоских фигур (точку L). Проведем прямую через две построенные точки K и L и получим линию пересечения двух плоских фигур.

Для определения видимости воспользуемся методом конкурирующих точек. Конкурирующие точки – это точки, у которых одна из проекций совпадает. Видимость определяется отдельно для каждой из проекций, и для определения видимости необходимо на каждой из проекций взять пару конкурирующих точек.

Определим видимость на горизонтальной проекции. Возьмем пару конкурирующих точек 5 и 6 (точка 5 принадлежит треугольнику DEF, точка 6 принадлежит треугольнику ABC). Построим фронтальные проекции точек 5 и 6, и определим, у какой из двух точек больше координата z (ось z направлена вверх). Координата z больше у точки 6, а значит, на горизонтальной проекции в точке 6 видимым является треугольник ABC. Далее определяем видимость на всей горизонтальной проекции, учитывая, что видимость может измениться только на линии пересечения фигур KL. Всю видимую часть треугольников ABC и DEF выделяем основными линиями. Видимость на фронтальной плоскости проекции определяется по такому же алгоритму, только в этом случае надо определить точку, у которой больше координата y (ось y направлена вниз). На примере, в качестве конкурирующих отмечены точки 7 и 8 (точка 7 принадлежит треугольнику DEF, точка 8 принадлежит треугольнику ABC). Координата y больше у точки 8, а, следовательно, на фронтальной проекции в точке 8 видимым является треугольник ABC.

Примечания. Работа выполняется на формате А3. Пример выполнения представлен на рис.7.

Задание 4. Определить истинную величину треугольника ABC методом замены плоскостей проекций.