46. Вероятностные методы.(метод байеса)

Одним из наиболее простых и эффективных вероятностных ме­тодов технической диагностики при наличии достаточного объема статистических данных является метод, основанный на ис­пользовании обобщенной формулы Байеса.

Пусть диагностируемая система может находиться в одном из состояний (диагнозах) D₁, D₂, ... , D_n, которые образуют полную группу несовместных событий. Это означает, что одновременно может быть поставлен только один диагноз D_i. Из опыта эксплуа­тации подобных систем известны вероятности P(D_i) нахождения системы в состоянии D_i. Вероятность P(D_i) называется априорной вероятностью диагноза. Так, если ранее наблюдалось N систем и у N_i систем имелось состояние D_i, то

P(D_i) = N_i/N. (8.1)

При этом (8.2)

Пусть работа данной системы характеризуется диагностическим параметром y_j. Событие (признак) k_j («выход параметра y_j за допу­стимые пределы») возникает при переходе системы в некоторые состояния D_i (при возникновении дефектов). Из опыта эксплуата­ции должны быть известны вероятности P(k_j / D_i) появления при­знака k_j у системы в состоянии D_i. Так, если ранее среди N_i систем, имеющих диагноз D_i, признак k_j наблюдался у N_ij систем, то

P(k_j / D_i) = N_ij / N_i. (8.3)

Теперь задача диагноза может быть сформулирована следую­щим образом. У системы наблюдается признак k_j, т.е. отклонился за допустимые пределы диагностический параметр y_j. В каком со­стоянии D_i находится система с наибольшей вероятностью?

Обозначим через P(D_i / k_j) — вероятность того, что система на­ходится в состоянии D_i, если наблюдается признак k_j. Эта вероят­ность называется апостериорной вероятностью диагноза. Ее опре­деление и является целью диагноза. Вероятность того, что система на­ходится в состоянии D_i и имеет признак k_j), обозначим через P(D_i k_j). Тогда имеет место равенство

P(D_i k_j) = P(D_i)∙P(k_j / D_i) = P(k_j)∙P(D_i / k_j) (8.4)

где P(k_j) — вероятность появления признака k_j независимо от состояния системы.

Из формулы (8.4) следует формула Байеса

P(D_i / k_j) = P(D_i)∙P(k_j / D_i) / P(k_j) (8.5)

В формуле (8.5) величины P(D_i) и P(k_j / D_i) должны быть извест­ны из статистических данных, полученных в процессе эксплуата­ции. Найдем величину P(k_j). Событие k_j возникает вместе с одним из несовместных событий D₁, D₂, ... , D_n. Поэтому

P(k_j) = P(D₁ k_j) + P(D₂ k_j) + … + P(D_n k_j) = . (8.7)

Формула (8.7) является формулой полной вероятности события k_j, происходящего вместе с полной группой независимых событий. С учетом (8.7) формула Байеса принимает вид (8.8):

Из (8.8) следует, что (8.9):

т. е. сумма апостериорных вероятностей диагноза для данного при­знака k_j равна 1.

Обобщенная формула Байеса применяется, если диагностируе­мая система характеризуется множеством параметров {y₁,y₂,… y_j…,y_n} и в результате измерений становится известен вектор признаков К* = (k₁*, k₂*,… k_j*…, k_n*). Здесь знак «*» оз­начает конкретную реализацию признака k_j. Тогда формула (8.8) принимает вид (обобщенная формула Байеса) (8.11):

где P(D_i /К*) – апостериорная вероятность диагноза после того, как стали известны результаты измерений по вектору признаков K. При условии независимости диагностических признаков вели­чина P(K*/Dj) рассчитывается по формуле: P(K* / D_i) = P(K₁* / D_i)∙ P(K₂* / D_i)… P(K_n* / D_i) (8.12)

При использовании метода Байеса составляется диагностичес­кая таблица на основе статистического материала. В ней для каждого диагноза D_i указывается значение априорной вероят­ности этого диагноза [в столбце P(D_i)] и вероятностей появления разрядов признаков [в столбцах P(k_js / D_i)].

Если обследуется новая система и устанавливается ее диагноз D_t (t {1, 2,...,n}), то производится корректировка прежних апри­орных вероятностей диагнозов по формулам (8.13):

Таким образом, решающее правило, в соответствии с которым принимается решение о диагнозе в методе Байеса, состоит в следу­ющем: система с вектором признаков K* относится к диагнозу D_i с наибольшей (апостериорной) вероятностью P(D_i /К*), т.е. для диагноза D_i выполняется условие

P(D_i /К*) = max. (8.15)

Условие (8.15) может быть дополнено пороговым значением для вероятности диагноза:

P(D_i /К*) ≥ P_i, (8.16)

где P_i – установленный уровень распознавания для диагноза D_i.