§ 10. Закон розподілу двовимірних випадкових величин

Нехай координати двовимірного випадкового вектора є дискретні випадкові величини та , можливими значеннями яких є числа та . Розглянемо ймовірності одночасного здійснення двох таких подій: , та , :

, , . (10.1)

Якщо ймовірності (10.1) відомі, то закон розподілу можна задати наступною таблицею:

					(10.2)

Також можна ввести функцію розподілу двовимірної випадкової величини.

Функцією розподілу двовимірної випадкової величини називається ймовірність одночасного виконання нерівностей тобто:

. (10.3)

Аналогічно може бути введена до розгляду функція розподілу n-вимірного вектора

. (10.4)

§ 11. Властивості функції розподілу

Оскільки функції розподілу як одновимірної так і многовимірної випадкових величин визначаються як ймовірності, то вони мають аналогічні властивості. Тому їх можна досліджувати паралельно.

1. Функції розподілу обмежені і їх значення належить сегменту .

Дійсно, з властивостей ймовірності випливають нерівності:

2. Ймовірність того, що одновимірна випадкова величина прийме значення з проміжку дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього проміжку

. (11.1)

Доведення.

Розглянемо події і . Ці події несумісні і Згідно з теоремою про ймовірність суми несумісних подій, знаходимо

або

.

Аналогічна властивість для двовимірної функції розподілу формулюється так

. (11.2)

Ймовірність, що знаходиться у лівій частині формули (11.2), геометрично означає, що випадкова точка знаходиться у наступному прямокутнику

Рис. 6

3. Функція розподілу одновимірної випадкової величини неспадна.

Дійсно, нехай – два довільних значення аргументу. Тоді згідно (11.1)

.

Тому .

4. Якщо випадкова величина має неперервну функцію розподілу , то для будь-якого числа

.

Нехай – довільний приріст незалежної змінної . Тоді

Спрямуємо . В силу неперервності функції :

.

Але тоді з попередньої рівності випливає .

5. Для функції розподілу одновимірної випадкової величини мають місце наступні граничні рівності:

.

Аналогічно, для функцій розподілу двовимірних величин маємо співвідношення

де – функція розподілу випадкової величини , – функція розподілу випадкової величини .

.