§ 12. Густина розподілу одновимірної випадкової величини та її властивості

Нехай є одновимірна випадкова величина , яка має функцію розподілу . Візьмемо два числа і розглянемо границю

.

Якщо функція розподілу диференційовна, то остання границя існує і дорівнює похідній

Функція називається густиною розподілу (диференціальною функцією розподілу) одновимірної випадкової величини . Згідно наведеному вище густина розподілу є границею відношення ймовірності влучення випадкової величини у проміжок до довжини цього проміжку, при прямуванні цієї довжини до 0

. (12.1)

Густина розподілу, як і функція розподілу, є однією з форм завдання закону розподілу випадкової величини. Але ним можна користуватися для неперервних випадкових величин з диференційовною функцією розподілу. Згідно з означенням, функція розподілу є первісною для густини розподілу. Тому функцію розподілу досить часто називають інтегральним законом розподілу або інтегральною функцією розподілу.

Перейдемо до вивчення властивостей густини розподілу.

1. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина належить до проміжку дорівнює

. (12.2)

Дійсно, згідно з формулою Ньютона-Лейбніца

.

2. Якщо - густина розподілу випадкової величини , то її функція розподілу дорівнює

. (12.3)

Дійсно,

,

оскільки

3. Густина не може бути від’ємною.

Оскільки – неспадна, то

.

4. Якщо - густина розподілу, то

. (12.4)

Дійсно,

§ 13. Густина розподілу двовимірної випадкової величини та її властивості

Нехай - двовимірна випадкова величина, яка має функцію розподілу Розглянемо ймовірність влучення цієї величини у прямокутник з сторонами і

Розглянемо границю

. (13.1)

Згідно з формулою (11.2) для ймовірності знаходимо

.

Тоді можна записати

.

Якщо функція має частинні похідні першого порядку, то

.

З врахуванням останніх рівностей, знаходимо

.

За умови, що теж є диференційовною функцією отримаємо

. (13.2)

Якщо двовимірна випадкова величина має двічі диференційовну функцію розподілу, то функція , що визначається рівністю (13.2), називається густиною розподілу цієї випадкової величини.

Як можна бачити, з (13.1) густина розподілу двовимірної величини дорівнює границі відношення ймовірності влучення точки з координатами у прямокутник до площі цього прямокутника, при прямуванні довжин його сторін до 0.

Густина розподілу двовимірної випадкової величини має наступні властивості:

1. Якщо – густина розподілу двовимірної випадкової величини , то ймовірність того, що випадкова точка належить до двовимірної області дорівнює:

. (13.3)

2. Якщо – густина розподілу двовимірної випадкової величини, то функція розподілу цієї величини дорівнює

. (13.4)

3. Для густини розподілу будь-якої двовимірної випадкової величини мають місце рівності

,

. (13.5)

В останній формулі – густина розподілу випадкової величини а – густина розподілу випадкової величини