§ 14. Розв’язання задач на дослідження законів розподілу випадкових величин

Задача 1. Двигун судна складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента в одному випробуванні дорівнює 0,1. Утворити закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному випробуванні, та побудувати многокутник розподілу.

Розв’язання.

Кількість елементів, що відмовили в одному випробуванні, може дорівнювати 0; 1; 2; 3. Тому закон розподілу має вигляд

	0	1	2	3

Ймовірність кожного можливого значення обчислюється за формулою Бернуллі (6.1)

.

Оскільки , то .

Остаточно, закон розподілу має вигляд

	0	1	2	3
	0,729	0,243	0,027	0,001

Відповідно до закону розподілу будуємо многокутник розподілу

Задача 2. Після відповіді курсанта на питання екзаменаційного білета екзаменатор задає курсанту додаткові питання. Викладач припиняє задавати додаткові питання, як тільки курсант виявляє незнання заданого питання. Ймовірність того, що курсант дасть відповідь на будь-яке додаткове питання, дорівнює 0,9. Утворити закон розподілу дискретної випадкової величини – числа додаткових питань, які може задати викладач курсанту.

Розв’язання.

Дискретна випадкова величина – число додаткових питань – має наступні можливі значення:

Величина прийме можливе значення (екзаменатор поставить тільки одне питання), якщо курсант не знає відповіді на перше питання. Ймовірність цього можливого значення дорівнює Таким чином,

Величина прийме можливе значення (екзаменатор поставить тільки два питання), якщо курсант дасть відповідь на перше питання (ймовірність цієї події дорівнює 0,9) і не дасть відповідь на друге питання (ймовірність цієї події дорівнює 0,1). Таким чином,

Аналогічно знайдено

Шуканий закон розподілу має вигляд:

	1	2	3
	0,1	0,09	0,081

Задача 3. Випадкова величина задана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування прийме значення: а) менше 0,2; б) менше 3; в) не менше 3; г) не менше 5.

Розв’язання.

а) Оскільки при функція то тобто

б) .

в) Події та – протилежні, тому Звідси, враховуючи , що (див. п. б)), отримуємо

г) Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1, тому

Звідси, використовуючи умову, в силу якої при функція отримуємо

Задача 4. Випадкова величина задана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань величина рівно три рази прийме значення з інтервалу

Розв’язання.

Оскільки значення випадкової величини 0,25 та 0,75 задовольняють нерівність , то за формулою знайдемо ймовірність того, що в результаті одного іспиту прийме значення з інтервалу

Шукану ймовірність знайдемо за формулою Бернуллі (6.1):

Задача 5. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

	2	4	7
	0,5	0,2	0,3

Знайти функцію розподілу та побудувати її графік.

Розв’язання.

1) Якщо , то функція Дійсно, значень, менших числа 2, величина не приймає. Отже, при функція

2) Якщо , то функція , оскільки може прийняти значення 2 з ймовірністю 0,5.

3) Якщо , то функція може прийняти значення 2 з ймовірністю 0,5 та значення 4 з ймовірністю 0,2. Отже, одне з цих значень може прийняти (за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій) з ймовірністю

4) Якщо , то функція Дійсно, подія достовірна і ймовірність її дорівнює 1.

Таким чином, функція розподілу має вигляд:

Побудуємо графік цієї функції

Задача 6. Задана функція розподілу неперервної випадкової величини

Знайти густину розподілу

Розв’язання.

Густина розподілу дорівнює першій похідній від функції розподілу:

Задача 7. Задана густина розподілу неперервної випадкової величини

Знайти функцію розподілу

Розв’язання.

Скористаємося формулою (12.3). Якщо то отже

Якщо то

Якщо то

Отже, шукана функція розподілу

Задача 8. Задано густину розподілу двовимірної випадкової величини

.

Знайти двовимірну густину розподілу.

Розв’язання

За формулою (13.2) знайдемо двовимірну густину розподілу:

,

.

Тоді

Задача 9. Задана двовимірна густина розподілу ймовірностей системи випадкових величин ( ):

.

Знайти функцію розподілу системи.

Розв’язання.

Згідно з формулою (13.4) маємо

.

Питання для повторення

1. Поняття дискретної та неперервної випадкової величини.

2. Що називається законом розподілу випадкової величини.

3. Що є функцією розподілу одновимірної та багатовимірної випадкових величин.

4. Які властивості функції розподілу.

5. Що є густиною розподілу і які її властивості.

41