§ 20. Показниковий закон розподілу

Неперервна випадкова величина називається розподіленою за показниковим законом у випадку, коли її густина розподілу визначається формулою

. (20.1)

Згідно з цим законом розподіляються терміни служби обладнання, час безвідмовної роботи механізмів, приладів та їх елементів, проміжки часу між появами двох послідовних випадкових подій.

Нехай . Знайдемо ймовірність влучення випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, в цей проміжок. Відповідно до (12.2) маємо:

.

За формулою (15.3) знаходимо математичне сподівання

. (20.2)

Здійснюємо інтегрування частинами:

.

Оскільки:

,

знаходимо, що

. (20.3)

Підстановка (20.3) у (20.2) дає наступне значення математичного сподівання

.

Щоб визначити дисперсію, спочатку обчислюємо:

.

Внаслідок інтегрування частинами маємо:

.

Після врахування (20.3) і того, що , знаходимо

.

Тоді

. (20.4)

§ 21. Нормальний закон розподілу

Нормальний закон розподілу (закон Гаусса) має виключне значення у теорії ймовірностей. Цей закон розподілу найчастіше зустрічається на практиці, зокрема при аналізі похибок вимірювань.

Неперервна випадкова величина є розподіленою за нормальним законом, якщо її густина розподілу має вигляд:

. (21.1)

Знайдемо ймовірність того, що розподілена за нормальним законом випадкова величина прийме значення із проміжка . За формулою (12.2) знаходимо

. (21.2)

Перейдемо в цьому інтегралі до нової змінної:

. (21.3)

В результаті чого маємо:

.

Останній інтеграл може бути виражений через інтеграл ймовірностей (6.13):

. (21.4)

Для подальшого дослідження нормального закону розподілу здійснюємо деякі попередні перетворення. Оскільки функція (21.1) є густиною розподілу, то має місце рівність:

.

Якщо в останньому інтегралі перейти до змінної (21.3), отримаємо:

. (21.5)

Останню формулу використаємо для обчислення математичного сподівання. За формулою (15.3) знаходимо:

.

Перейдемо до нової змінної інтегрування за (21.3):

.

Оскільки

,

то після підстановки в останній вираз (21.5), маємо:

. (21.6)

Дисперсія у даному випадку згідно з (16.3) визначається інтегралом

.

Зауважимо, що

і здійснимо інтегрування частинами в інтегралі, що подає дисперсію

.

Оскільки

.

і має місце (21.5), остаточно знаходимо:

. (21.7)

Таким чином, формули (21.6) і (21.7) встановлюють ймовірнісний зміст параметрів і у формулі для густини розподілу.

З нормальним розподілом пов’язано практично важливе правило «трьох сігм» оцінки розсіювання значень випадкової величини. Щоб з’ясувати зміст цього правила порахуємо наступну ймовірність:

.

Згідно з формулою (21.4) знаходимо

.

Це означає, що для нормально розподіленої випадкової величини весь розподіл з ймовірністю, майже рівною одиницею, зосереджений на проміжку . Цей факт і дозволяє сформулювати наступне правило «трьох сігм»: якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом, то її абсолютне відхилення від математичного сподівання практично не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення.