§ 22. Числові характеристики функцій випадкових величин

На практиці досить часто випадкова величина, яка вивчається, є функцією іншої випадкової величини. Зрозуміло, що якщо відомий закон розподілу аргументу, можливо визначити і закон розподілу функції. Але у більшості випадків немає необхідності визначати закон розподілу функції випадкових величин, а досить вказати їх числові характеристики (математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моменти). В зв’язку з цим виникає необхідність визначення тільки числових характеристик функцій випадкових величин.

Нехай є випадкова величина з відомим законом розподілу, пов’язана з іншою випадковою величиною функціональною залежністю

.

Необхідно визначити основні числові характеристики випадкової величини .

Нехай дискретна випадкова величина з законом розподілу (15.1). Тоді математичне сподівання і дисперсія можуть бути знайдені за допомогою формул:

,

. (22.1)

Для неперервної випадкової величини з густиною розподілу відповідні формули набувають вигляду:

,

. (22.2)

Нехай величина є функцією двох випадкових змінних

.

Тоді за умови, що двовимірна випадкова величина має густину розподілу , маємо

,

. (22.3)

§ 23. Граничні теореми теорії ймовірностей

Граничні теореми теорії ймовірностей встановлюють той факт, що при дуже великій кількості випадкових явищ їх середній результат практично перестає бути випадковим і може бути передбаченим з великим степенем визначеності. Граничні теореми теорії ймовірностей можна поділити на дві групи, одна з яких отримала назву закону великих чисел, а інша – центральних граничних теорем.

Доведення граничних теорем теорії ймовірностей ґрунтується на наступному твердженні.

Теорема (нерівність Чебишева). Нехай випадкова величина має скінчене математичне сподівання і дисперсію . Тоді для будь-якого додатного числа справедлива нерівність

. (23.1)

Доведення проведемо в припущенні, що випадкова величина неперервна і має густину розподілу . Зазначимо, що нерівність еквівалентна тому, що . Тому можна записати

.

Скористаємось тим, що

.

Тоді, оскільки , з останньої рівності випливає нерівність

.

Зауважимо, що

.

Тоді

Після об’єднання суми інтегралів в один будемо мати нерівність:

.

Остання нерівність співпадає з (23.1).

Зауважимо, що з нерівності (23.1) для протилежної події випливає нерівність

. (23.2)

Однією з форм закону великих чисел є наступна теорема.

Теорема Чебишева. Нехай – незалежні випадкові величини з математичними сподіваннями

і дисперсіями

.

Якщо всі дисперсії обмежені одним числом :

,

то для будь-яких як завгодно малих чисел і для достатньо великих виконується нерівність

. (23.3)

Розглянемо величину , яка є середнім арифметичним випадкових величин

.

Оскільки – незалежні, то

,

.

Нехай – довільне мале число. Тоді, згідно з (23.2), має місце нерівність:

.

Для будь-якого малого для достатньо великих виконується нерівність

.

Тому для досить великих має місце нерівність

.

Якщо врахувати вирази для і , можна бачити, що остання рівність співпадає з (23.3).

В окремому випадку, коли всі випадкові величини мають однакові математичні сподівання і дисперсії

,

нерівність (23.3) має наступний вигляд

. (23.4)

Узагальненням теореми Чебишева на випадок залежних випадкових величин є наступна теорема.

Теорема Маркова. Нехай – випадкові величини, для яких виконується умова

,

тоді для будь-яких як завгодно малих чисел і і для достатньо великих виконується нерівність (23.3).

Безпосередньо із закону великих чисел випливає і відома теорема Я.Бернуллі. Нехай здійснюється незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи випадкової події є сталою і дорівнює , тоді для будь-якого малого числа ймовірність того, що відносна частота (статистична ймовірність) появи події відхилиться від теоретичної ймовірності на величину, більшу , прямує до при зростанні . Тобто має місце рівність

,

де – число появи події за випробувань.

Доведення цієї теореми за допомогою закону великих чисел можна знайти у [1], [2], [5], [12].

Теореми, предметом яких є граничні закони розподілу, відносять до групи центральних граничних теорем. Одна з них належить Ляпунову.

Теорема (центральна гранична теорема Ляпунова). Якщо випадкові величини – незалежні, однаково розподілені і мають однакові математичні сподівання і дисперсії , то закон розподілу нормованої випадкової величини

(23.5)

при прямує до нормального закону з параметрами розподілу 0 і 1.

Тобто теорема стверджує, що при густина розподілу випадкової величини прямує до функції

.

Очевидно, якщо розглянути середнє арифметичне випадкових величин

,

то при закон розподілу цієї величини буде прямувати до нормального з густиною

.

Головний результат цієї теореми полягає в тому, що яким би не був закон розподілу випадкових доданків, їх нормована сума і середнє арифметичне при розподіляються за нормальним законом.

Доведення цієї теореми вимагає застосування поняття характеристичних функцій випадкових величин і тому не наводиться. З ним можна ознайомитися у [6], [10].