§ 24. Приклади обчислення числових характеристик випадкових величин

Задача 1. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

	–1	0	1	2
	0,2	0,1	0,3	0,4

Знайти , , .

Розв’язання.

Знайдемо за (15.2):

.

Утворимо закон розподілу для :

	0	1	4
	0,1	0,2+0,3	0,4

Знайдемо :

.

Обчислимо :

.

Оскільки , то .

Задача 2. На судні працюють три автоматичні системи. Ймовірність того, що протягом вахти перша система не буде вимагати регулювання, дорівнює 0,9, друга система – 0,8, третя система – 0,75. Знайти математичне сподівання числа систем, які не будуть вимагати регулювання протягом вахти, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання.

Утворимо закон розподілу – числа автоматичних систем, які не будуть вимагати регулювання протягом вахти. Множину можливих значень утворюють числа 0, 1, 2, 3. Знайдемо відповідні ймовірності можливих значень:

відповідає випадку, коли жодна з систем не вимагає регулювання, тому .

відповідає випадку, коли одна з систем не вимагає регулювання, тому

відповідає випадку, коли будь-які дві з систем не вимагають регулювання, отже

відповідає випадку, коли всі системи не вимагають регулювання, і

.

Отже,

	0	1	2	3

Таким чином, математичне сподівання дорівнює

.

Дисперсію знайдемо за формулою (16.6). Знайдемо спочатку . Оскільки

	0	1	4	9

то . Тоді

.

.

Задача 3. Відомо, що функція

є диференціальною функцією розподілу неперервної випадкової величини . Визначити , математичне сподівання та дисперсію неперервної випадкової величини .

Розв’язання.

Параметр знаходимо з умови (12.4):

, , .

Знайдемо тепер . Формула (15.3) в цьому випадку набуває вигляду:

.

Дисперсію для знаходимо за формулою (16.6):

.

Для середнього квадратичного відхилення з формули (16.9) маємо:

.

Задача 4. Випадкова величина має середнє квадратичне відхилення . Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що відхилиться від свого математичного сподівання менше ніж на 2.

Розв’язання.

В цьому прикладі необхідно оцінити ймовірність виконання нерівності , тобто . В нерівності Чебишева фігурує ймовірність протилежної події , отже

.

З нерівності Чебишева

.

Звідси та з попередньої рівності отримаємо

.

Таким чином, шукана ймовірність не менше .

Задача 5. Термін безвідмовної роботи пристрою розподілений за експоненціальним законом . Знайти ймовірність того, що пристрій буде працювати 100 годин, а також математичне сподівання і дисперсію вказаної випадкової величини.

Розв’язання.

Нехай – термін безвідмовної роботи. Функція розподілу випадкової величини , тобто визначає ймовірність відмови за час терміном . Отже, ймовірність безвідмовної роботи за час дорівнює . Оскільки має показниковий закон розподілу, тоді за густиною розподілу (20.1) можна знайти її функцію розподілу, яка має вигляд . Тому :

.

Математичне сподівання і дисперсія експоненціально розподіленої випадкової величини обчислимо за формулами , . Оскільки , то , .

Задача 6. Результати вимірювання відстані між двома портами підкорені нормальному закону з математичним сподіванням , середнім квадратичним відхиленням . Знайти ймовірність того, що відстань між портами не менше .

Розв’язання.

За умовою , , отже:

.

Задача 7. Графік диференціальної функції розподілу випадкової величини показаний на рисунку

Рис. 10

Знайти .

Розв’язання.

За рисунком маємо

Математичне сподівання знаходимо за формулою (15.3):

.

Для дисперсії використаємо формулу (16.6) . Тому

,

.

Задача 8. Всі значення рівномірно розподіленої випадкової величини містяться у відрізку . Знайти числові характеристики такої випадкової величини.

Розв’язання.

З відповідних формул для математичного сподівання (19.3), дисперсії (19.4) та середнього квадратичного відхилення (19.5) рівномірно розподіленої випадкової величини отримаємо:

, , .

Задача 9. Три судна прибувають до порту незалежно одне від одного. Ймовірність своєчасного прибуття до порту будь-якого з цих суден постійна і дорівнює 0,7. Знайти математичне сподівання випадкової величини – кількості суден, що прибули в порт своєчасно.

Розв’язання.

Утворимо закон розподілу випадкової величини . Множину можливих значень утворюють числа 0, 1, 2, 3. Знайдемо відповідні ймовірності можливих значень .

Розглядається випадкова величина, розподілена за біноміальним законом. Тому ймовірності відповідних можливих значень цієї випадкової величини будуть знаходитись за формулою (18.1):

;

;

;

.

Отже,

	0	1	2	3

Математичне сподівання за (18.5) дорівнює:

.

Задача 10. Відомі математичні сподівання і дисперсії випадкових величин та . а) Знайти математичне сподівання випадкової величини . б) Знайти дисперсію випадкової величини , якщо та – незалежні випадкові величини.

Розв’язання.

а) Використовуючи властивості 2 і 3 математичного сподівання, отримаємо

б) Оскільки та – незалежні випадкові величини, то за властивостями 3 і 5 дисперсії знаходимо

.

Задача 11. Дискретна випадкова величина має тільки два можливих значення: та , причому Ймовірність того, що прийме значення , дорівнює 0,6. Утворити закон розподілу величини , якщо математичне сподівання і дисперсія відомі:

Розв’язання.

Сума ймовірностей всіх можливих значень дискретної випадкової величини дорівнює одиниці, тому ймовірність того, що прийме значення , дорівнює

Запишемо закон розподілу :

	0,6	0,4

Для відшукання та необхідно скласти два рівняння, що пов’язують ці числа. З цією метою виразимо відомі математичне сподівання та дисперсію через та

Знайдемо

За умовою тому

Одне рівняння відносно та отримано. Для того, щоб отримати друге рівняння, виразимо відому дисперсію через та Напишемо закон розподілу :

	0,6	0,4

Знайдемо

Знайдемо дисперсію:

Підставляючи отримаємо

В результаті маємо систему рівнянь відносно та

Розв’язавши систему, знайдемо два розв’язки: та За умовою , тому задачу задовольняє тільки перша пара розв’язків:

Таким чином, закон розподілу має вигляд:

	1	2
	0,6	0,4

Задача 12. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини відповідно дорівнюють 20 та 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування прийме значення з інтервалу

Розв’язання.

Скористаємося формулою (21.4). Оскільки отримаємо

Задача 13. Випадкова величина задана густиною розподілу . Знайти математичне сподівання і дисперсію функції .

Розв’язання.

Використовуючи формулу (22.2), отримаємо

.

Для дисперсії

.

Задача 14. Випадкова величина задана густиною розподілу . Знайти моду та медіану випадкової величини.

Розв’язання.

Функція не має точок максимуму на , отже не має моди.

Щоб знайти медіану знайдемо наступну ймовірність

, .

Далі , звідки , , .

Задача 15. Випадкова величина задана густиною розподілу . Знайти параметр , моду, медіану та математичне сподівання .

Розв’язання.

Для відшукання параметру скористаємось властивістю густини :

.

Тоді , звідки .

Для відшукання моди знаходимо точки максимуму функції . Маємо для : . Похідна тільки при . Оскільки знак змінюється з „–” на „+” при переході через , то – точка максимуму, тому мода .

Щоб знайти медіану розв’яжемо рівняння . Для цього попередньо знайдемо ймовірність:

.

Далі розв’язуємо рівняння

або

.

Це рівняння набуває вигляду . Отже корінь рівняння . Значить медіана .

Задача 16. Середнє квадратичне відхилення від прокладеного курсу руху судна складає . Яка ймовірність того, що судно відхилиться від заданого курсу не більше ніж на .

Розв’язання.

Нехай – відхилення судна від прокладеного курсу. Відомо, що помилки вимірювань підкоряються нормальному закону, тому має , . Необхідно визначити ймовірність події :

.

Задача 17. Дан ряд розподілу випадкової величини

	1	3	5	7	9
	0,1	0,4	0,2	0,2	0,1

Знайти початкові і центральні моменти перших чотирьох порядків цієї випадкової величини, асиметрію та ексцес.

Розв’язання.

Початковий момент першого порядку за (17.1)

.

Знайдемо початковий момент другого порядку:

.

Початковий момент третього порядку:

.

Початковий момент четвертого порядку:

.

Знайдемо тепер центральні моменти. Як відомо, .

Центральний момент другого порядку знайдемо за (17.3):

.

Оскільки , то . Тому .

Центральний момент третього порядку визначається так:

.

Тепер можна знайти асиметрію:

.

Для визначення ексцесу підготуємо центральний момент четвертого порядку:

.

Тоді ексцес дорівнює

.

Питання для повторення

1. Які існують числові характеристики випадкових величин.

2. Вкажіть властивості математичного сподівання і дисперсії випадкової величини.

3. Що є центральним моментом, модою і медіаною випадкової величини.

4. Види законів розподілу.

5. Сформулюйте граничні теореми теорії ймовірностей.

67