3. Предел функции

Пусть функция определена на некотором промежутке Х и пусть точка

Определение 1.3.1. Число А называется пределом функции в точке , если для любого числа существует число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Пример 1. Используя определение предела функции, доказать, что .

Решение. Возьмем любое . Необходимо по этому найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуем последнее неравенство:

, или .

Отсюда видно, что если взять, например , то для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется требуемое неравенство , а это и означает, что .

В частности, если , то , если , то и т.д.

Раскрытие неопределенностей вида и .

Если подстановка предельного значения вместо независимой переменной не дает значения предела, то имеет место неопределенность.

Для раскрытия неопределенности можно использовать те же приемы что и для последовательностей чисел.

Пример 2. Вычислить предел

Решение: Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получим:

, так как дроби , при .

Неопределенность вида раскрывается путем разложения на множители выражений, стоящих в числителе и знаменателе дроби.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение: Имеем неопределенность вида . Тогда получим:

Пример 4. Вычислить предел .

Решение: В числителе и знаменателе дроби стоит показательная функция , которая стремится к бесконечности при . Быстрее возрастает та функция, у которой основание больше, поэтому разделим числитель и знаменатель на :

.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на :

.

Раскрытие неопределенностей вида .

Пример 6. Вычислить предел .

Решение: Подставляя единицу в выражение, стоящее под знаком предела, получаем неопределенность типа . Чтобы ее раскрыть, необходимо привести дроби к общему знаменателю и полученные выражения в числители и знаменатели разложить на множители.

.

Пример 7. Вычислить предел .

Решение: Имеем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, необходимо выражение, стоящее под знаком предела, домножить и разделить на сопряженное выражение, приводящее к формуле.

Два замечательных предела.

Первый замечательный предел.

Предел функции в точке x=0 существует и равен единице, то есть:

Пример 8. Вычислить предел

Решение: Имеем неопределенность вида . Преобразуем данную дробь таким образом, чтобы в знаменателе был аргумент синуса:

Пример 9. Вычислить предел

Решение. Преобразуем данную дробь, используя тригонометрические формулы, а затем выполним предельный переход:

Пример 10. Вычислить предел

Решение:

.

Второй замечательный предел формулировался ранее в теме «Числовая последовательность и ее пределы». Тем не менее, сформулируем его еще раз:

Предел функции при существует и равен числу e, т. е.

Пример 11. Вычислить предел

Решение. Заменим переменную, приняв . При и последовательно получаем:

.

Пример 12. Вычислить предел

Решение:

.