1.4. Бесконечно малые функции

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Определение 1.4.1. Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если предел ее в этой точке равен нулю, то есть .

Справедливо следующее утверждение:

Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке , как и произведение бесконечно малой и ограниченной функций, являются бесконечно малыми функциями в точке .

При вычислении пределов ряда функций полезно использовать замену бесконечно малой функции на эквивалентную ей.

Определение 1.4.2. Пусть и , а . Тогда (х) и (х) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями (обозначается (х)  (х)).

Таблица основных эквивалентных бесконечно малых функций при х 0:

sin x ~ x arcsin x ~ x

tg x ~ x arctg x ~ x

(1+x)^a –1 ~ ax

e^x – 1 ~ x ln (1+x) ~ x

Пример 1. Вычислить предел .

Решение: Имеем .

Поэтому:

Заметим, что, если у нас есть сумма или разность бесконечно малых функций, то для применения этого правила иногда можно преобразовать данные выражения в произведение.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение: .

1.5. Дифференциальное исчисление функции

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Понятие производной.

Определение 1.5.1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Определение 1.5.2. Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Вычисление производных.

Правила дифференцирования.

Пусть - дифференцируемые функции в точке x. Тогда справедливы следующие формулы:

1. ;

2. ;

3. 

4. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке :

5. Если - дифференцируема и строго монотонна на промежутке Х, то функция, обратная к данной , также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

Формулы дифференцирования.

Пример 2. Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функций:

Решение:

Производные высших порядков.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции:

Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции .

Решение:

Понятие дифференциала.

Если функция дифференцируема в точке , то есть имеет в этой точке конечную производную , то ее приращение можно записать в виде

где

Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy:

Положив в формуле дифференциала , получим . Тогда окончательно получим:

Свойства дифференциала.

Пусть - дифференцируемые функции в точке x; с – const. Тогда:

Пример 4. Найти дифференциал функции

Решение:

Приложения производной.

Геометрический смысл.

Пусть - дифференцируемая функция, тогда угловой коэффициент касательной, проведенной к данной кривой в некоторой точке.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Уравнение нормали в точке имеет вид:

Пример 5. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение: Найдем значение функции в точке :

Производная функции: , тогда значение производной в точке равно:

Таким образом, уравнение касательной запишется в виде:

, или .

Уравнение нормали: , или .