Точечные оценки дисперсии.

По аналогии с математическим ожиданием в качестве точечной оценки дисперсии будем считать точечной оценкой дисперсии среднюю выборочную дисперсию:

Теорема. Оценка является смещенной, а именно , где - дисперсия наблюдаемого признака.

Доказательство. Пусть a –математическое ожидание наблюдаемого признака, тогда

Принимая во внимание, что , получим

Тогда

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Следствие. Несмещенной оценкой дисперсии является

.

Эту оценку называют исправленной выборочной дисперсией.

Дробь называют поправкой Бесселя. Очевидно, эта поправка стремится к 1 при увеличении объема выборки и при п>50 разница между исправленной дисперсией и дисперсией выборки практически неощутима. Пользуясь законом больших чисел можно показать, что обе рассмотренные оценки являются состоятельными. Однако, исправленная выборочная дисперсия не является эффективной оценкой дисперсии. Можно показать, что несмещенной, состоятельной, эффективной оценкой дисперсии является следующая оценка . Однако, эта оценка практически неприменима, ибо для ее построения необходимо знание точного значения математического ожидания.

Методы построения точечных оценок.

1.Метод максимального правдоподобия.

Пусть - функция распределения, плотность распределения или вероятность того, что случайная величина Х примет значение х.

Ясно, что первые две функции используют для непрерывных наблюдаемых признаков, а первую и третью – для дискретных наблюдаемых признаков.

Назовем функцией правдоподобия следующую функцию

где - выборка объема и значений Х.

Теорема. Пусть - точка максимума функции L, тогда есть состоятельная оценка параметра .

Эту теорему мы приводим без доказательства.

Из приведенной теоремы вытекает следующая схема поиска точечных оценок:

1. Составить функцию максимального правдоподобия L.

2. Исследовать функцию L на максимум, для чего составить и решить систему уравнений

После чего проверить, что найденные решения этой системы доставляют максимум функции L.

3. Выписать полученные точечные оценки.

Замечание. Если f(x) возрастающая функция, то функция L и f(L) имеют максимумы в одних и тех же точках. Поэтому в пункте 2 схемы можно вместо функции L использовать функцию f(L), что иногда проще при удачном выборе функции f(x).

Пример. Построить точечные оценки параметров и нормально распределенного признака по результатам выборки. .

Поскольку плотность распределения в рассматриваемом случае имеет вид: , то функция правдоподобия имеет вид

Будем рассматривать вместо функции L, следую замечанию, функцию lnL:

Тогда

Приравнивая к нулю частные производные, получаем

Решая эту систему относительно и , получаем:

Можно проверить, что полученные значения действительно доставляют максимум функции lnL.

Следствие. В рассмотренном примере получены следующие оценки математического ожидания и дисперсии

, .

2. Метод моментов.

Пусть - плотность распределения признака Х, а - выборка объема n.

Представим эту выборку в виде вариационного ряда относительных частот:

X*			…
			…

Этот ряд, как отмечалось выше, определяет эмпирическую случайную величину Х*, которая является некоторым приближением наблюдаемого признака Х. Последнее означает, что моменты произвольных порядков величин Х и Х* должны быть приблизительно равны:

Выбирая m уравнений, получаем систему, решения которой дают оценки параметров .

Пример. Методом моментов построить оценку параметра для распределения Пуассона.

Плотность распределения имеет вид

где: >0/.

Найдем моменты первого порядка случайных величин Х и Х*:

Следовательно, и .