Проверка гипотезы о равенстве центров распределения двух

нормальных генеральных совокупностей при известных дисперсиях.

Пусть Х и Y – два наблюдаемых признака, подчиненных нормальному распределению. Будем считать, что дисперсии известны. Будем считать, что выборки независимы. Тогда выборочные средние также независимы и распределены по нормальному закону. Это означает, что и разность распределена по нормальному закону. Найдем параметры распределения этой случайной величины, предполагая, что гипотеза , состоящая в том, что , верна. Тогда

Последние равенства означают, что случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами (0, 1).

Пользуясь статистикой z, построим критическую область и область допустимых значений для гипотез:

Пусть задана вероятность , с которой мы принимаем решение о совпадении центров, т.е. гипотезу . При этом величина называется уровнем значимости.

Рассмотрим уравнение

.

Решением этого уравнения будет находится по таблицам для нормального распределения.

Последнее означает, что область допустимых значений описывается неравенством:

или .

Следовательно, в рассматриваемом случае критическая область задается неравенством:

.

Пример. По результатам выборок двух наблюдаемых признаков, распределенных по нормальному закону с дисперсиями , , проверить гипотезу о совпадении центров, приняв уровень значимости .

X: 2,1; 2,2; 2,3; 2,15; 2,4; 2,5; 2,4; 2,3; 2,1; 2,2

Y: 2,3; 2,4; 2,8; 2,0; 2,0; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9; 3,0; 2,9

Выполним необходимые расчеты:

Поэтому , а

Так как 0,375<3,14, то выборка принадлежит области допустимых значений и нет оснований отвергать гипотезу о равенстве центров наблюдаемых признаков.

Проверка гипотез о законе распределения.

Критерий согласия .

Пусть Х – наблюдаемый признак и требуется проверить гипотезу , состоящую в том, что Х подчиняется закону распределения F(x).

Произведем выборку объема n; и построим по этой выборке эмпирическую функцию распределения F*(х).

Проверка гипотезы :состоит в сравнении законов F(х) и F*(х) при помощи, так называемого, критерия согласия. Существует много различных критериев согласия. Мы рассматриваем один из них – критерий согласия .

Разобьем генеральную совокупность признака Х на l интервалов и подсчитаем число элементов, попавших на каждый из этих интервалов.

Предполагая, что гипотеза имеет место, можно найти вероятности попадания случайной величины в интервал . Тогда теоретическое значение числа элементов, попавших в интервал , есть .

Результаты расчетов помещаем в следующую таблицу:

Интервалы			…
Эмпирические частоты			…
Теоретические частоты			…

По построению .

Рассмотрим следующую статистику

Можно показать, что эта статистика имеет распределение с k=l-r-i числом степеней свободы. Здесь r – число параметров, входящих в функцию F(x).

Значение может быть найдено при помощи таблицы по числу степеней свободы k и заданному уровню значимости .

С другой стороны, может быть найдено расчетное значение по приведенной выше формуле.

Область допустимых значений в рассматриваемом случае описывается неравенством: , а критическая область – неравенством .

Пример. При уровне значимости 0,05, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если выборка представлена интервальным рядом частот.

Интервалы	1,2-2,2	2,2-3,2	3,2-4,2	4,2-5,2	5,2-6,2	6,2-7,2
Частоты	19	64	71	31	12	3

Для проверки о нормальном распределении с помощью критерия согласия , необходимо найти теоретические частоты.

1.Перейдем от интервального распределения к статистическому ряду распределения частот признака Х. В качестве представителя каждого интервала берем значение

	1,7	2,7	3,7	4,7	5,7	6,7
	19	64	71	31	12	3

2.Вычисляем

3.Нормируем случайную величину Х, т.е. переходим к величине z

и вычисляем концы интервалов

причем, наименьшее значение z полагают равным -, а наибольшее +.

4.Вычисляем теоретические вероятности попадания в интервал по формуле , и находим искомые теоретические частоты .

5.Вычисляем . Вычисления удобно проводить с помощью следующих таблиц.

№1.

№
1	1,2	2,2	-	-1,3	-	-1,17	-0,5	-0,379	0,1210	24,20
2	2,2	3.2	-1,3	-0,3	-1,17	-0,27	-0,379	-0,1064	0,2726	54,52
3	3,2	4.2	-0,3	0,7	-0,27	0,63	-0,1064	0,2357	0,3421	68,42
4	4,2	5.2	0,7	1,7	0,63	1,53	0,2357	-0.4370	0,2013	40,26
5	5,2	6.2	1,7	2,7	1,53	2,43	0,4370	0,4290	0,0550	11,0
6	6,2	7.2	2,7	3,7	2,43		0,4920	0,5	-,0050	1,6

№2.

№			-
1	19	24,2	-5,2	27,04	1,11
2	64	54,52	9,48	89,67	1,64
3	71	38,42	2,58	6,55	0,09
4	31	40,26	-9,26	85,74	2,12
5	12	11,0	1	1	0,09
6	3	1,6	1,4	2,36	1,47

Находим по таблице – число степеней свободы у нас k=6-2-1-3, уровень значимости 0,05.

Так как - нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.