Доверительное оценивание параметров.

Пусть, как и раньше, наблюдаемый признак Х зависит от некоторых параметров. Пусть - один из этих параметров.

Интервал назовем доверительным, соответствующим доверительной вероятности , если вероятность того, что истинное значение параметра находится на этом интервале есть :

Как правило, в качестве доверительной вероятности выбирают достаточно близкое к единице значение. Стандартными являются следующие значения доверительной вероятности:

Такие значения для выбираются для того, чтобы получать информацию об изучаемом параметре с вероятностью близкой к единице, т.е. почти наверняка. В связи с этим иногда доверительную вероятность называют надежностью.

Замечание. Иногда вместо доверительной вероятности (надежности) использую величину , называемую уровнем значимости.

Построение доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения при известном .

Пусть наблюдаемый признак Х распределен по нормальному закону и известно его среднее квадратическое отклонение .

Рассмотрим случайную величину

где а - математическое ожидание Х.

Теорема. Случайная величина z распределена по нормальному закону с параметрами 0,1.

При доказательстве несмещенности выборочного среднего было показано, что , поэтому

.

Покажем, что . В самом деле,

Теорема доказана.

Обозначим через решение уравнения

.

Функция задается таблично и решение выписанного уравнения также определяется при помощи таблиц. При этом следует учитывать, что функция нечетна, т.е., что .

Найдем теперь вероятность того, что . Поскольку случайная величина z распределена по нормальному закону с параметрами 0,1, имеем:

С другой стороны, неравенство эквивалентно следующим:

Следовательно, .

По определению доверительного интервала имеем, что интервал

является доверительным для математического ожидания с доверительной вероятностью .

Замечание. Доверительную вероятность называют иногда надежностью. Кроме того, вместо надежности задают иногда уровень значимости , связанный с надежностью соотношением .

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал по выборке 2,1; 2,3; 2,4; 2,6; 2,8; 2,7; 2,5;2,.4; 2,7; с уровнем значимости 0,05.

Доверительная вероятность (надежность) в рассматриваемом случае такова .

Найдем , решив уравнение .

Пользуясь таблицами для функции , получаем .

Очевидно объем выборки в рассматриваемом случае n=9.

Найдем :

Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:

Построение доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения при известном .

Пусть - выборка объема из генеральной совокупности признака Х, распределенного по нормальному закону.

Случайная величина называется распределенным по закону Стьюдента (t - распределение) c k=n-1 числом степеней свободы.

Для этой случайной величины составлен в виде таблицы закон распределения, который называют t – распределением Стьюдента.

При помощи этих таблиц может быть решена задача нахождения по заданному значения , удовлетворяющее уравнению:

.

Величина оказывается зависящей от и числа степеней свободы k=n-1 и, поэтому в дальнейшем, обозначается . В таблице находится на пересечении столбца соответсвующего = 0,95; 0,99; 0,995; и строки, указывающей число степеней свободы.

Рассмотрим неравенство .

Это неравенство эквивалентно следующему , отсюда

Поскольку все записанные неравенства эквивалентны, то

.

Последнее означает, что интервал является доверительным, соответствующим надежности .

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Найти доверительный интервал для математического ожидания по выборке: 5, 6, 4, 6, 7, 4, 8, 7, 9, 4 с уровнем значимости 0,05.

По выборке находим .

Найдем по таблице

Следовательно, искомый интервал имеет вид

.

Проверка статистических гипотез.

Под статистической гипотезой будем понимать всякое высказывание о наблюдаемом признаке, которое может быть проверено по результатам выборки.

Пусть - закон распределения наблюдаемого признака Х, зависящий от параметра, истинное значение которого нам неизвестно.

Предположим, что нам необходимо проверить гипотезу . Назовем эту гипотезу нулевой и будем обозначать через . Гипотезу , состоящую в том, что , назовем конкурирующей или альтернативной.

Нашей задачей является по статистическим данным (по выборке) из гипотез и принять какую-либо и, следовательно, отвергнуть альтернативную гипотезу. При этом мы можем совершать следующие ошибки:

1. Гипотеза отвергается, но является верной. Такую ошибку назовем ошибкой первого рода.

2. Гипотеза принимается, но является неверной. Такую ошибку назовем ошибкой второго рода..

Схематически решение сформулированной задачи состоит в следующем: в зависимости от вида гипотезы по выборке рассчитывают некоторую величину, называемую статистикой. Это значение называют расчетным значением статистики ( ). С другой стороны, статистику подбирают так, что для нее известно, так называемое, теоретическое значение ( ), определяемое по известному виду распределения. Расчетное и теоретическое значения статистики сравниваются и при этом если, в некотором смысле, они мало отличаются, то нет оснований отвергать гипотезу, а если различия между теоретическим значением статистики и ее расчетным значением существенны, то нулевая гипотеза отвергается. Как правило, сравнение указанных величин состоит в проверке выполнения неравенств: или . Тем самым множество выборок разбивается на 2 непересекающихся подмножества. Одно из них называется областью допустимых значений и описывается неравенством , а второе называется критической областью и описывается неравенством . Область допустимых значений обозначают, как правило, через 0, а критическую область – через W.