1.2. Оценка показателей надежности. Доверительные границы и доверительные.

Показатели надежности, вычисленные на основе ограниченного числа опытов, всегда содержат элемент случайности. Именно поэтому экспериментально полученные параметры называют оценками параметров. Чем меньше число опытов, тем больше вероятность отклонения оценки параметра от его истинного значения. Математическая статистика установила связь между числом, реализации (отказов) n, величиной отклонения оценки параметра от его истинного значения и вероятностью этого отклонения. При этом наилучшая статистическая оценка, обеспечивающая минимальные ошибки, должна обладать следующими основными свойствами.

Оценка должна быть состоятельной. Это значит, что при увеличении числа реализации n оценка параметра должна сходиться по вероятности к своему параметру.

Оценка должна быть несмещенной, т. е. она должна быть свободной от систематической ошибки.

Оценка должна быть эффективной. Это значит, что выбранная несмещенная оценка должна иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками.

На практике не всегда удается добиться, чтобы оценка удовлетворяла всем этим требованиям. Может оказаться, что вычисление эффективной оценки получается очень сложным и трудоемким. В этом случае нередко удовлетворяются другой оценкой, дисперсия которой несколько больше, зато объем вычислений заметно меньше.

В качестве состоятельной и несмещенной оценки средней наработки на отказ Т_о^* для математического ожидания Т_о принимается среднее арифметическое значение наработок между отказами τ_i:

где n – число отказов; ∑τ_i – сумма наработки на отказ.

Статистическая дисперсия оценивается выражением:

D* =

При малых значениях n вычисленная по этой формуле оценка дисперсии оказывается смещенной. Для устранения систематической погрешности достаточно в знаменателе вместо n применить значение n — 1:

D* =

Полученные по этим формулам оценки параметров являются точечными, они оценивают неизвестный параметр Т_о одним числом и фактически представляют собой также случайные величины, хотя и с существенно меньшей дисперсией, чем изучаемая случайная величина Т. На практике часто требуется знать не только точечную оценку параметра, но и интервал, в котором с заданной вероятностью может находиться сам параметр. Такой интервал характеризует собой точность полученной оценки и называется доверительным интервалом. А вероятность, с которой доверительный интервал заключает в себе параметр, характеризует достоверность оценки и называется доверительной вероятностью. Границы интервала принято называть доверительными границами. Если обозначить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала соответственно (Т*_0н, Т*_0в), то доверительная вероятность γ будет выражаться формулой:

γ = Р { Т*_0н ≤Т₀≤ Т*_0в} или Р{Т*₀ – Т₀| ε}= γ.

Здесь γ — вероятность того, что расхождение между Т*_о и Т_о не превышает некоторого числа ε. Получаем:

Р {Т*₀ – ε ≤Т₀≤ Т*₀ +ε}= γ,

где Т*₀ – ε = Т*_0н - нижняя граница доверительного интервала;

Т*₀ +ε = Т*_0в - верхняя граница доверительного интервала.

Теперь рассмотрим интервальные оценки для двух наиболее употребительных в инженерной практике законов распределения отказов: экспоненциального и нормального*

Доверительный интервал при экспоненциальном законе распределения отказов. Предположим, что, проводится эксплуатация одного образца объекта весьма продолжительное время, т. е. до получения не менее n отказов.

Необходимо найти доверительный интервал(Т*_0н, Т*_0в) для неизвестного параметра Т_о, если закон распределения отказов экспоненциальный.

При экспоненциальном законе (внезапные отказы) вероятность наступления ровное l отказов подчиняется закону Пуассона:

Q_l(t_l) =

а вероятность наступления не менее n отказов определяется как сумма:

Получаем плотность вероятности, которая называется χ² –распределением. Она имеет вид, показанный на рис. Интеграл доверительной вероятности (γ) и χ² –распределения табулирован, имеются математические таблицы.

Обычно χ²₁ и χ²₂ выбирают так. чтобы S₁=S₂=S (заштрихованные площади равны). Тогда S₀+2S=1 или S=(1—So)/2. Но S₀ = γ, γ =1— α. где α —вероятность допущения ошибки.

Обычно величиной γ в эксплуатации задаются, например, часто берут γ = 0,9, тогда риск будет α = 0,1. Зная γ, определяют α, α /2, 1— α /2 и при к = 2n степеней свободы по таблице находят χ².

Доверительный интервал при нормальном законе распределения отказов.

Пусть требуется оценить Т_оп — надежность объекта по постепенным отказам (например, по отказам, связанным со старением и износом). Закон распределения таких отказов (без дополнительной проверки) считается нормальным. Доверительная вероятность по определению:

Р {Т*_0п – ε ≤ Т_0п ≤ Т*_0п +ε}= γ или

γ = Р { Т*_0н ≤ Т_0п ≤ Т*_0в}.

Правая часть в последнем уравнении есть вероятность попадания среднего значения Т_0п (математического ожидания) случайной величины Т*_0п,подчиненной нормальному закону, на заданный участок [Т*_0н , Т*_0в]. В общем виде такая вероятность (из теории вероятностей) определяется с помощью функции Лапласа и зависит от границ интервала и среднеквадратического отклонения случайной величины (σ).

Значение σ вычисляется по формуле:

Заметим, здесь Т_оп есть математическое ожидание, оно никому не известно, так же как и σ.

Обозначим

Задаваясь доверительной вероятностью γ, по математическим таблицам находят z_γ. Для уменьшения погрешности в инженерной практике используют распределение Стьюдента, согласно которому

где t_γ — параметр Стьюдента, определяемый из таблицы по значениям γ и к = n - 1 степеней свободы.

В последней формуле среднеквадратическое отклонение оценивается из статистики:

Формулу можно написать и в другом виде: