2. Типовые задачи по надежности и безопасности технических систем.
2.1. Определение вероятности безотказной работы.
Задача 1. Составьте структурную надежностную схему автомобиля и найдите вероятность его безотказной работы, если вероятность безотказной работы каждого элемента равна Рi (см. табл.2.1). При составлении схемы автомобиля считайте, что в его состав входят: четырехцилиндровый двигатель, трансмиссия, две тормозные независимые системы и система питания. Следовательно, он может быть представлен схемой четырех элементов двигателя (четыре цилиндро-поршневые группы), с которыми соединяются два элемента трансмиссии (муфта сцепления и коробка передач). Последовательно с предыдущими включаются два элемента, соответствующие двум различным системам торможения. Последний (9-й) включенный элемент соответствует системе питания.
Определите затем вероятность безотказной работы, при условии, что для питания используются две системы питания, например, с бензиновым и газовым топливом с той же вероятностью безотказной работы и сравните результаты.
Таблица 2.1.
Исходные данные по вариантам.
Вариант
|
Значение Рiλi 104 |
Вариант
|
Значение Рiλi 104 |
1 |
0,70 |
16 |
0,85 |
2 |
0,71 |
17 |
0,86 |
3 |
0,72 |
18 |
0,87 |
4 |
0,73 |
19 |
0,88 |
5 |
0,74 |
20 |
0,89 |
6 |
0,75 |
21 |
0,90 |
7 |
0,76 |
22 |
0,91 |
8 |
0,77 |
23 |
0,92 |
9 |
0,78 |
24 |
0,93 |
10 |
0,79 |
25 |
0,94 |
11 |
0,80 |
26 |
0,95 |
12 |
0,81 |
27 |
0,96 |
13 |
0,82 |
28 |
0,97 |
14 |
0,83 |
29 |
0,98 |
15 |
0,84 |
30 |
0,99 |
Задача 2. Партия продукции содержит К % бракованных изделий. Какова вероятность, что в выборке из n деталей окажется 1% бракованных изделий? Исходные данные в табл.2.2.
Указание. Для решения следует воспользоваться биноминальным законом распределения Рm, n = Сmn wm vn-m ,
где n - объем выборки; m - номер члена ряда; w - доля бракованных изделий; v - доля доброкачественных изделий.
Произвольный член биноминального ряда выражается формулой:
Таблица 2.2
Исходные данные по вариантам.
Вариант |
К,% |
n |
L,% |
Вариант |
К,% |
n |
L,% |
1 |
5 |
20 |
5 |
16 |
10 |
180 |
10 |
2 |
4 |
0 |
2 |
17 |
10 |
180 |
5 |
3 |
10 |
40 |
5 |
18 |
4 |
200 |
2 |
4 |
4 |
50 |
2 |
19 |
10 |
200 |
5 |
5 |
10 |
60 |
5 |
20 |
20 |
220 |
10 |
6 |
5 |
80 |
10 |
21 |
10 |
220 |
5 |
7 |
10 |
100 |
5 |
22 |
5 |
240 |
10 |
8 |
10 |
100 |
5 |
23 |
10 |
240 |
5 |
9 |
5 |
100 |
2 |
24 |
10 |
250 |
2 |
10 |
10 |
120 |
5 |
25 |
10 |
260 |
5 |
11 |
20 |
120 |
10 |
26 |
5 |
260 |
6 |
12 |
10 |
140 |
10 |
27 |
10 |
280 |
6 |
13 |
10 |
140 |
5 |
28 |
5 |
300 |
2 |
14 |
4 |
150 |
2 |
29 |
10 |
300 |
6 |
15 |
10 |
160 |
5 |
30 |
10 |
310 |
10 |
Задача 3. В результате измерений n валов установлено среднее значение диаметра Dcp, дисперсия Dx. С какой вероятностью можно утверждать, что истинное значение диаметра вала не отклонится от наеденной величины больше, чем на L? . Исходные данные в табл.2.3.
Таблица 2.3.
Исходные данные по вариантам
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант |
n |
Dcp,мм |
Dx,mm |
L,% |
Вариант |
n |
Dcp,мм |
Dx,mm |
L,% |
||||||
1 |
15 |
114.20 |
0.0002 |
0,008 |
16 |
61 |
158,72 |
0.0002 |
0,003 |
||||||
2 |
26 |
119,28 |
0.0005 |
0,004 |
17 |
41 |
85,48 |
0,00015 |
0,005 |
||||||
3 |
41 |
33.63 |
0,00015 |
0,006 |
18 |
121 |
35,64 |
0,0001 |
0,005 |
||||||
4 |
121 |
18,74 |
0.0001 |
0,005 |
19 |
16 |
59.26 |
0,0002 |
0,008 |
||||||
5 |
61 |
63.39 |
0,0002 |
0,003 |
20 |
9 |
71,35 |
0,0003 |
0,009 |
||||||
6 |
41 |
41,73 |
0.00015 |
0.006 |
21 |
61 |
121,20 |
0,0002 |
0,003 |
||||||
7 |
26 |
148,36 |
0.0005 |
0.004 |
22 |
9 |
89,57 |
0,0003 |
0,009 |
||||||
8 |
121 |
23,20 |
0,0001 |
0,005 |
23 |
16 |
77,46 |
0,0002 |
0,008 |
||||||
9 |
41 |
53.94 |
0,0002 |
0,003 |
24 |
121 |
42,48 |
0,0001 |
0,005 |
||||||
10 |
61 |
78,54 |
0.0002 |
0.003 |
25 |
61 |
143,02 |
0,0002 |
0,003 |
||||||
11 |
16 |
47,46 |
0,0002 |
0,008 |
26 |
16 |
130,36 |
0,0002 |
0,008 |
||||||
12 |
41 |
64.70 |
0,00015 |
0.006 |
27 |
9 |
119,78 |
0,0003 |
0,009 |
||||||
13 |
121 |
29,84 |
0,0001 |
0,005 |
28 |
16 |
94,12 |
0,0002 |
0,008 |
||||||
14 |
61 |
501.26 |
0.0002 |
0.003 |
29 |
9 |
148,76 |
0,0003 |
0,009 |
||||||
15 |
41 |
77.51 |
0,00015 |
0,006 |
30 |
121 |
47,16 |
0,0001 |
0,005 |
||||||
Расчет основывается на известном выражении для оценки параметра по результатам ограниченного числа испытаний:
где ty — параметр Стьюдента, определяемый из таблицы по значениям γ и k = n—1 степеней свободы, Топ — среднее значение случайной величины; Т*оп — среднее значение случайной величины, измеренное при данных испытаниях; n — число опытов; σ*— среднее квадратическое отклонение: γ — доверительная вероятность.
Задача 4. Для технического объекта задана наработка на отказ Тоз. Требуется оценить безопасность объекта (по величине наработки на опасный отказ То) с доверительной вероятностью γ, если число отказов n, а суммарная наработка до наступления n отказов равна tn часов (данные по табл. 2.4).
Таблица 2.4
Исходные данные по вариантам
Вариант |
tn, ч |
Тоз, ч |
n |
γ |
Вариант |
tn, ч |
Тоз, ч |
n |
γ |
1 |
450 |
25 |
10 |
0,90 |
16 |
450 |
10 |
15 |
0,96 |
2 |
500 |
20 |
10 |
0,91 |
17 |
500 |
10 |
14 |
0,97 |
3 |
350 |
25 |
10 |
0,92 |
18 |
350 |
10 |
15 |
0,98 |
4 |
400 |
20 |
15 |
0,93 |
19 |
400 |
20 |
15 |
0,90 |
5 |
600 |
30 |
15 |
0,54 |
20 |
600 |
20 |
14 |
0,91 |
6 |
650 |
25 |
15 |
0.95 |
21 |
650 |
20 |
14 |
0,92 |
7 |
700 |
25 |
10 |
0,96 |
22 |
700 |
10 |
15 |
0,33 |
8 |
450 |
20 |
5 |
0,97 |
23 |
450 |
5 |
12 |
0,94 |
9 |
500 |
25 |
15 |
0,98 |
24 |
500 |
20 |
15 |
0,95 |
10 |
350 |
20 |
10 |
0,99 |
25 |
350 |
10 |
14 |
0,96 |
11 |
400 |
30 |
10 |
0,90 |
26 |
400 |
10 |
12 |
0.97 |
12 |
600 |
25 |
10 |
0,91 |
27 |
600 |
10 |
14 |
0,98 |
13 |
650 |
20 |
15 |
0,92 |
28 |
660 |
20 |
15 |
0,99 |
14 |
700 |
30 |
15 |
0,93 |
29 |
700 |
20 |
1S |
0,90 |
15 |
500 |
25 |
15 |
0,94 |
30 |
450 |
10 |
15 |
0,91 |
Указание. Для решения задачи необходимо оценить надежность с учетом доверительных границ, воспользовавшись таблицей приложения 2 при к = 2n степеней свободы и α/2; 1 – α/2 (где α = 1 – γ), находим, значения χ2α/2 и χ21 – α/2. Тогда
где То - математическое ожидание наработки на опасный отказ.
Задача 5. Восстанавливаемая система с показательным распределением времени безотказной работы и времени восстановления имеет коэффициент безопасности К6 (табл. 2.5). Определить вероятность нахождения системы в безопасном состоянии в момент времени t, если наработка на опасный отказ То.
Таблица 2.5
Исходные данные по вариантам заданий
Вариант |
Кб |
t, ч |
То, ч |
Вариант |
Кб |
t, ч |
То,ч |
1 |
0,93 |
10 |
400 |
16 |
0,86 |
20 |
400 |
2 |
0,92 |
15 |
450 |
17 |
0,85 |
25 |
450 |
3 |
0,91 |
20 |
500 |
18 |
0,84 |
30 |
500 |
4 |
0.90 |
25 |
550 |
19 |
0,83 |
35 |
550 |
5 |
0,89 |
30 |
600 |
20 |
0,82 |
40 |
600 |
6 |
0,88 |
35 |
650 |
21 |
0,81 |
45 |
650 |
7 |
0,87 |
40 |
700 |
22 |
0,80 |
50 |
400 |
3 |
0,86 |
45 |
750 |
23 |
0,79 |
55 |
450 |
9 |
0,85 |
50 |
800 |
24 |
0,93 |
60 |
500 |
10 |
0,84 |
55 |
850 |
25 |
0,92 |
65 |
550 |
11 |
0,33 |
60 |
900 |
26 |
0,91 |
70 |
600 |
12 |
0,82 |
65 |
950 |
27 |
0,90 |
10 |
650 |
13 |
0,81 |
70 |
1000 |
28 |
0,89 |
15 |
400 |
14 |
0,80 |
75 |
1050 |
29 |
0,88 |
20 |
450 |
15 |
0,79 |
80 |
1100 |
30 |
0,87 |
25 |
500 |
Задача 6. В процессе эксплуатации электронной аппаратуры учитывалось число выходящих из строя элементов в течение каждой тысячи часов их работы. При этом наблюдение велось за 1000 однотипных элементов (Nо=1000). В результате подсчета отказавших элементов получены данные, сведенные в табл. 2.6.
Таблица 2.6
Количество отказов элементов в i-м интервале времени
Вариант |
Интервал времени ∆ti, ч
|
Число отказов n |
Вариант |
Интервал времени ∆ti, ч |
Число отказов n |
1 |
0-500 |
10 |
16 |
5750 - 6000 |
50 |
2 |
500 -1000 |
20 |
17 |
6000 - 6250 |
40 |
3 |
1000 - 1500 |
25 |
18 |
6250 - 6500 |
40 |
4 |
1500 - 2000 |
30 |
19 |
6500 - 6750 |
50 |
5 |
2000 - 2500 |
30 |
20 |
6750-7000 |
30 |
6 |
2500 - 3000 |
35 |
21 |
7000 - 7250 |
35
|
7
|
3000 - 3500 |
30 |
22 |
7250 - 7500 |
25 |
8 |
3500 - 4000 |
50 |
23 |
7500 - 7750 |
40 |
9 |
4000 - 4250 |
40 |
24 |
8000 - 8250 |
35 |
10 |
4250 - 4500 |
35 |
25 |
8250 - 8500 |
25 |
11 |
4500 - 4750 |
45 |
26 |
8500 - 8750 |
25 |
12 |
4750 - 5000 |
30 |
27 |
8750 - 9000 |
35 |
13 |
5000- 5250 |
25 |
28 |
9000 – 9250 |
40 |
14 |
5250 - 5500 |
20 |
29 |
9250 - 9500 |
30 |
15 |
5500 - 5750 |
35 |
30 |
9500 - 10000 |
30 |
По данным табл. 2.6, пользуясь формулой P(t) = N0 – n(t)
N0
где n (t) - число образцов, отказавших за время t, определить вероятность безотказной работы элементов в течение заданного промежутка времени. Определив таким образом P(t) для всего диапазона времени, построить зависимость вероятности безотказной работы элементов в аппаратуре от времени их работы.
Задача 7. Определить вероятность отказа элементов в электронной аппаратуре по данным табл. 2.6 и пользуясь формулой
Задача 8. Определить надежность и вероятность отказа технической системы
10 шт.
Р=0,79
Р=0,98
Р=0,99
Р=0,85
Р=0,88
Р=0,78
Р=0,80
|
Задача 9. Определить надежность и вероятность отказа технической системы
Р=0,87
Р=0,94
Р=0,80
Р=0,96
2
Р=0,77
Р=0,90
Р=0,99
|
Задача 10. Общая структурная схема системы приведена на рисунке. Элементы, включаемые в схему в зависимости от варианта задания, обозначены в таблице 2.7 знаком ‘+’.
Таблица 2.7
№ элемента |
Номер варианта задания |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
2 |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
|
+ |
+ |
|
|
3 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
+ |
+ |
+ |
4 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
5 |
|
|
+ |
|
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
6 |
+ |
|
+ |
|
+ |
+ |
|
+ |
|
+ |
Приведите графическое изображение структурной логической схемы с учетом номера варианта задания. Напишите расчетное выражение для определения вероятности безотказной работы объекта.
Рассчитайте вероятность безотказной работы объекта с учетом того, что вероятность безотказной работы каждого из элементов принята в задаче одинаковой и равной 0.9.