Критерий устойчивости Гурвица.

Данный критерий, как и критерий Рауса является алгебраическим так как при их использовании решается алгебраическое уравнение. Этот критерий был предложен швейцарским математиком в 1895году.

Рассмотрим данный критерий Грвица без доказательства. В качестве примера используем характеристическое уравнение замкнутой линейной системы 6-го порядка.

На основании уравнения составляем таблицу Гурвица. Она включает 6-ть строк и 6-ть столбцов, что соответствует степени характеристического уравнения.

Правила заполнения таблицы: в таблицу записываются коэффициенты уравнения начиная с а₁ до а₆. В дальнейшем таблицу заполняем следующим образом: в клетках над коэффициентами диагонали записываем коэффициенты с возрастающими индексами, а в низ коэффициенты с убывающими индексами; в свободных клетках записываются нули. На основании сказанного таблица примет вид:

Таблица Гурвица

На основании таблицы Гурвица составляем определители их число должно соответствовать степени характеристического уравнения. В данном случае определителей должно быть 6-ть.

; ; ;

- ;

;

Критерий Гурвица формулируется следующим образом: если все определители больше нуля и коэффициенты характеристического уравнения больше нуля, то есть Δ₁>0, Δ₂>0, Δ₃>0, Δ₄>0, Δ₅>0, Δ₆>0, а₀>0, а₁>0, а₂>0, а₃>0, а₄>0, а₅>0, а₆>0, то в этом случае система является устойчивой.

Примечание:

1. При определении устойчивости системы не всегда нужно вычислять все определители (например для системы 6-го порядка, достаточно определить и );

2. Для системы первого и второго порядка устойчивость определяется значениями коэффициентов, то есть все коэффициенты при характеристическом уравнении должны быть больше нуля в этом случае система устойчива.

3. По критерию Гурвица можно рассматривать устойчивость звеньев, поскольку их можно получить рассматривая замкнутую систему звеньев, в этом случае можно рассматривать уравнение замкнутой системы. Для которых справедливы алгебраические критерии устойчивости.

4. Критерий Гурвица в представленном виде не позволяет определить устойчивость системы с запаздыванием

Приклад для розв’язання задачі №2 Визначити стійкість АСР по критерію стійкості Гурвиця, зробити висновки.

Характеристическое уравнение замкнутой АСР имеет вид:

.

Дано:

.

На основании заданного уравнения составляем таблицу Гурвица.

На основании таблицы составляем определители:

;

;

-55,17;

Вывод: Система по критерию Гурвица, является не устойчивой так как один из определителей меньше нуля.

Частотный критерий устойчивости а.В. Михайлова

Данный критерий был предложен русским ученым А.В Михайловым в 1936году. Этот критерий так же распространен на замкнутые линейные системы n-го порядка.

В качестве примера используем характеристическое уравнение замкнутой линейной системы 6-го порядка:

Левую часть уравнения приравняем к величине Д(р), то есть

Д(р)= ,

где Д(р) – характеристический поленом.

Далее, как и при переходе от передаточной функции к частотной передаточной функции, поэтому в уравнение положим р=jω, получим:

Д(jω)= ,

В данном выражении Д(jω) – это характеристический комплекс. Этот комплекс можно записать в алгебраической форме виде:

Д(jω) = X(ω) + jY(ω),

где X(ω) - действительная часть характеристического комплекса;

Y(ω) – мнимая часть характеристического комплекса.

Примечание:

Не трудно видеть, что члены действительной части характеристического комплекса будут иметь значения с четными степенями, а члены мнимой части будут иметь показатели степени не четные. При этом необходимо учитывать:

j² = -1; j³ = - j; j⁴= +1; j⁵ =+j; j⁶ = -1

Согласно примечанию запишем выражение для действительной и мнимой части:

Д(jω)= ,

X(ω) =

Y(ω) =

Далее изменяя от 0 до ∞, получаем соответствующие значения X(ω) и Y(ω), затем в декартовых координатах строим кривую (годограф Михайлова).чаще всего годограф Михайлова имеет следующий вид:

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: если годограф Михайлова начинается с вещественной положительной оси и далее проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов, где n степень характеристического уравнения, то такая система называется устойчивой.

Приклад для розв’язання задачі №3 Визначити стійкість замкнутої АСР по критерію Міхайлова, зробити висновки.

Характеристическое уравнение замкнутой АСР имеет вид:

.

.

Левую часть уравнения приравняем к величине Д(р), то есть

Д(р)= ,

Далее, как и при переходе от передаточной функции к частотной передаточной функции, поэтому в уравнение положим р=jω, получим:

Д(jω)= ,

В данном выражении Д(jω) – это характеристический комплекс. Этот комплекс можно записать в алгебраической форме виде:

Д(jω) = X(ω) + jY(ω),

где X(ω) - действительная часть характеристического комплекса;

Y(ω) – мнимая часть характеристического комплекса.

Согласно примечанию запишем выражение для действительной и мнимой части:

Д(jω)= ,

X(ω) =

Y(ω) =

Далее изменяя от 0 до ∞, получаем соответствующие значения X(ω) и Y(ω).

	0	0,1	1	…..
X(ω)	0,4	0,28	-2,6	…..
Y (ω)	0	0,09	-9	…….

Затем в декартовых координатах строим кривую (годограф Михайлова)и делаем вывод.