7.4. Волновое уравнение

7.5. Волна, распространяющаяся в произвольном направлении

Рассмотрим упругую волну, распространяющуюся в произвольном направлении так, что вектор скорости волны с осями {x,y,z} составляет углы {а,р,у}. Предположим далее, что колебания в плоскости, совмещённой с началом координат (рис. 7.6) имеют вид [17]

(7.22)

где ^₀ - смещение частиц среды из состояния равновесия, а - амплитудное значение смещения. Рассмотрим волновую поверхность при её прохождении от начала системы отсчёта на расстоянии l.

Колебания в этой плоскости, так же как и в предыдущем случае будут запаздывать относительно колебаний, определяемых уравнением (7.22) на время т = l/v, т.е. будут удовлетворять уравнению

(7.24)

(7.25)

(7.26)

(7.23)

Введём в последнее уравнение волновое число (7.12) с учётом того, что

Расстояние l можно выразить через радиус вектор r и вектор нормали n

Подставим значение l в уравнение (7.25)

(7.27)

Полученное уравнение соответствует плоской незатухающей волне, распространяющейся в среде в направлении волнового вектора k . Если волна затухает, то так же как это делалось для затухающих колебаний, уравнение волны необходимо дополнить множителем exp(-Pr). Так как вектор г определяет равновесное положение рассматриваемой точки среды, то уравнение (7.27) характеризует отклонение от положения равновесия. Для перехода от радиус-вектора к координатам точки {x,y,z} представим

скалярное произведение векторов kr в виде проекций на оси декартовой системы координат

Уравнение волны (7.27) с учётом соотношения (7.28) запишется в виде

(7.28)

Функция -^(x,y,z;t) позволяет определять отклонение точки среды с координатами {x,y,z} в момент времени t. Волновое уравнение для рассматриваемого случая запишется так

(7.29)