6. Скорость упругих волн в среде

Рассмотрим распространение плоской продольной волны в направлении оси х в изотропной безграничной среде. Мысленно выделим некий цилиндрический объём площадью основания S и высотой Ax (рис. 7.7). Как следует из уравнения (7.13) смещение частиц Е с различными координатами х имеют различные значения, другими словами Е = f(x).

Предположим, что в результате внешнего воздействия среда, заключённая внутри цилиндра деформируется. При перемещении основания c координатой х на величину ^, то основание с координатой (x + Ax) сместится на величину ( + Д^), т.е. рассматриваемый объём получает удлинение Д^. Среднюю деформацию цилиндра можно представить в виде безразмерной величины

(7.32)

Чтобы получить деформацию в в некотором сечении х необходимо рассмотреть предел отношения (7.32)

33. 

Появление деформации растяжения или сжатия объёма среды свидетельствует о наличии нормального напряжения с

(7.34)

где Е - модуль Юнга данной среды. Величина напряжения зависит от координаты х (правая часть рис. 7.7). При значениях х, соответствующих максимальному отклонению частиц от положения равновесия деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят положение равновесия деформация и напряжение достигают максимума, при этом положительные и отрицательные деформации чередуются, что соответствует растяжению или сжатию среды, таким образом, по длине цилиндра устанавливаются чередующиеся разряжения и сгущения (рис. 7.1).

Найдём уравнение движения цилиндрического объёма, для чего запишем ускорение точек цилиндра в виде второй производной смещения по времени

(7.35)

Масса вещества заключённого в выделенном цилиндрическом объёме определится через плотность р недеформированной среды

(7.36)

Проекция силы, действующей на основание цилиндра равна произведению его площади на разность нормальных напряжений в сечениях

(7.37)

Значение производной di/dx в сечении x + 5 при малости 5 можно представить в виде

(7.38)

или

(7.39)

Ввиду того, что относительное удлинение di/dx при упругих деформациях всегда на много меньше единицы, значит AS, << Ax, следовательно, слагаемыми AS, при суммировании можно пренебречь, что позволяет уравнение силы переписать в виде

(7.40)

Проведя сокращения в последнем уравнении, получим

(7.41)

Уравнение (7.41) представляет собой частный случай волнового уравнения (7.31) записанного для случая независимости £, от координат у и z, кроме того, очевидно, что в данном случае фазовая скорость представляется следующим образом

(7.42)

Фазовую скорость упругой продольной волны можно получить исходя из анализа механических величин. Представим, что в среде расположен реальный бесконечно длинный (длина на много больше длины волны) цилиндр с непроницаемыми стенками. В цилиндр вставлен невесомый подвижный поршень с площадью основания S. В начальный момент времени t = t0 поршень начинает двигаться внутрь сосуда, где присутствует следа с плотностью р, со скоростью vi, приводя среду внутри цилиндра в деформированное состояние [18]. За малый промежуток времени At деформация распространится на расстояние vAt. Масса деформированного участка составит

(7.43)

Изменение импульса, пришедшей в движение среды (газа или жидкости) запишется так

(7.44)

Изменение импульса в соответствии со вторым законом Ньютона можно представить как изменение импульса среднего значения, действующей на среду

(7.45)

Приравняем два последних уравнения

Средняя сила, отнесённая к площади поршня, равна давлению р, т.е.

(7.46)

Абсолютное значение давление в соответствии с законом Гука можно выразить через модуль объёмной упругости К и изменение объёма AV

(7.47)

знак минус показывает, что при сжатии среды, давление повышается, а при расширении понижается. Объём среды, подвергшейся деформированию в данном случае равен

в то время как, объёмная деформация составляет

поскольку за промежуток времени от t0 до (t0 + At) частицы среды, прилегающие к поршню, сместятся на расстояние v₁At. С учётом этих обстоятельств избыточное давление, возникающее при перемещении поршня можно представить следующим образом

(7.48)

Средняя сила, с учётом полученных соотношений, запишется в виде

(7.49)

Подставим полученное уравнение силы вуравнение (7.46)

(7.50)

Как видно, полученное уравнение фазовой (волновой) скорости продольных волн совпадает с ранее записанным уравнением (7.42), а модуль объёмной упругости является, по сути, модулем Юнга.

Проводя подобные рассуждения, можно показать, что скорость поперечных волн в изотропных средах равна

(7.51)

где G - модуль сдвига среды. Полученные уравнения для фазовой скорости показывают, что её величина определяется физическими характеристиками среды. Покажем это на примере идеального газа, находящегося в нормальных условиях (р₀ = 10⁵ Па, Т₀ = 273 К) или близких к ним. Состояние идеального газа определяется уравнением Клапейрона - Менделеева

(7.52)

где р - молярная масса газа, R - универсальная газовая постоянная, Т - абсолютная температура. Введём в уравнение состояния плотность газа

(7.53)

откуда

(7.54)

Плотность газа при постоянстве его химического состава и температуры зависит от давления, причём эта зависимость определяется способом перехода газа из одного состояния в другое. Обсудим это более подробно. Для начала запишем уравнение (7.47) для бесконечно малого изменения объёма, подвергнутого деформации

(7.55)

Значение производной dp/dV зависит от процессов протекающих в газе при изменении состояния. Применительно к волновым процессам возможны два предельных варианта.

Первый вариант наблюдается при относительно медленном процессе деформации, на низких частотах, а второй при быстропротекающих процессах, что соответствует высокочастотным изменениям параметров колебательной системы, являющейся источником волнового движения.

На низких частотах процесс изменения состояния можно представить как

изотермический, т.е. протекающий без изменения температуры, он интерпретируется

математически законом Бойля - Мариотта

pV = const. (7.56)

Продифференцируем уравнение (7.56) с учётом того, что в изотермическом процессе изменяется как давление, так и объём

dp • V = p • dV = 0. (7.57)

Перепишем последнее уравнение следующим образом

(7.58)

(7.59)

Подставим уравнение (7.58) в уравнение (7.55)

а полученное значение давления совместим с зависимостью (7.54)

Перепишем уравнение фазовой скорости (7.50) с учётом найденного значения коэффициента объёмной упругости при изотермическом процессе

(7.60)

(7.60)

Распространение в следе высокочастотных колебаний соответствует адиабатическому процессу, т.е. отсутствием теплообмена между отдельными микрообъёмами среды и внешними термодинамическими системами. Адиабатический закон изменения состояния идеального газа описывается

(7.61)

где у - коэффициент Пуассона (показатель адиабата) для данного газа, определяемый как отношение молярных или удельных теплоёмкостей . Как и в предыдущем случае,

продифференцируем уравнение (7.61)

(7.62)

или

Подставляя далее значение коэффициента объёмной упругости в отсутствие теплообмена в уравнение (7.54), получим

Уравнение фазовой скорости (7.50) для этого случая представится следующим образом

(7.64)

(7.63)

(7.65)

Каким же из полученных уравнений нужно пользоваться при определении, например, скорости упругих волн акустического диапазона в воздухе? Подставим в уравнение (7.60) следующие данные: R = 8,3 Дж/(Моль-К); Т = 293 К (20 ⁰С); р = 3-10 ^{- 2} кг/моль

Далее воспользуемся уравнение (7.65) при у = 1,4

(7.67)

Поскольку измеренное значение скорости звука в воздухе v = 340 м/с, то очевидно, что механизм изменения состояния воздуха ближе к адиабатическому процессу.

В табл. 7.2 - 7.8 приведены справочные данные о скорости звука в различных упругих средах

Таблица 7.2. Характерные частоты колебательных процессов (v), встречающихся в природе, Гц (с ^-1)

№	Наименование процесса	v
1	Вековые возмущения планет	1-10 -10
2	Обращение планет вокруг звёзд	10 -8
3	Частота приливов и отливов	10 5
4	Колебательные процессы в машинах и механизмах	10 1
5	Усреднённая частота сокращений сердечной мышцы человека в спокойном состоянии	10°
6	Акустические колебания инфразвукового диапазона	0,1-10
7	Акустические колебания звукового диапазона	20Гц - 20 кГц
8	Акустические колебания ультразвукового диапазона	20кГц -1 Мгц
9	Акустические колебания гиперзвукового диапазона	v > 1 МГц
10	Радиотелеграфия	О 1 о 00
11	Инфракрасное излучение	1012
12	Видимое оптическое излучение	10 15
13	Рентгеновские лучи	10 18
14	Y- лучи	10 20
15	Космические лучи	10 23

Таблица 7.3. Скорость звука (с), плотность (р) и акустическое сопротивление (рс) в различных газах

Газ	t,0C	с, м/с	р, кг/м3	рс, кг/м2-с
Водород	20	1310	0,084	110
Гелий	20	1005	0,167	168
Кислород	20	326	1,34	437
Азот	20	337	1,17	394
Неон	20	446	0,84	375
Аргон	20	323	1,60	517
Хлор	20	213	3,01	641
Окись углерода	20	350	1,17	410
Углекислый газ	20	268	1,85	496
Сероводород	20	300	1,44	432
Двуокись серы	20	224	2,75	616
Метан	20	445	0,66	294
Ацетилен	20	327	1,10	360
Этилен	20	330	1,18	389
Водяной пар	130	450	0,54	243
Воздух	20	344	1,21	41

Таблица 7.4. Скорость звука (с), плотность (p) и акустическое сопротивление (рс) в различных жидкостях

Жидкость	с, м/с	р, кг/м3	рс, кг/м2-с
Ацетон	1190	790	94-104
Этиловый спирт	1150	790	91-104
Метиловый спирт	1120	790	88-104
Этиловый эфир	1006	710	72-104
Бензол	1326	870	72-104
Бензин	1190	750	246115-104
Глицерин	1950	1260	115-104
Толуол	1325	866	115-104
Соляная кислота	1500	908	136-104
Вода дистиллированная	1492	1000	149-104

Таблица 7.5. Скорость звука (с) в твёрдых телах

Вещество	Температура	Скорость звука, м/с
		В стержне	Продольная	Поперечная
Алюминий	20	5080	6260	3080
	372	4342	-	-
Бериллий	-250	-	12660	8900
	27	-	12550	8830
Висмут	20	1790	2180	1100
Вольфрам	20	4310	5460	2620
Железо	20	5170	5850	3230
Золото	20	2030	3240	1200
Иридий	20	4790	-	-
Кадмий	20	2400	2780	1500
Константан	20	4300	5240	2640
Кремний	31,5	-	-	3770
Латунь	20	3490	4430	2123
Латунь (70%Cu+30% Zn)	20	3760	-	-
Магний	-	4900	-	-
Манганин	20	3830	4660	2350
Марганец	-	3830	4660	-
Медь	20	3710	4700	2260
Никель	20	4785	5630	2960
Олово	20	2730	3320	1670
Платина	20	2800	3960	1670
Свинец	20	1200	2160	700
Серебро	-	2640	3600	1590
Сталь	-	5050	6110	-
Сурьма	20	3400	-	-
Тантал	20	3350	-	-
Цинк	20	3810	4170	2410

Чугун	-	3850	4500	2400
Стекло кварцевое	-	5370	5570	3515
Плексиглас	-	-	2670	1112
Полистирол	-	-	2350	1120
Каучук	-	-	1479	-
Эбонит	-	1570	2405	-
Лёд	-	3280	3980	1990
Фарфор	-	4884	5340	3120
Парафин	-	1460	-	-
Гранит	-	3950	-	-
Мрамор	-	3810	-	-
Сланец	-	4510	-	-
Слоновая кость	-	2200	-	-

Таблица 7.6. Скорость звука (с) в дереве, м/с

Порода дерева	Скорость звука (с), м/с
	Параллельно волокнам	Перпендикулярно волокнам
Бук	3400	4556
Дуб	3380	4597
Красная ель	4180	6270

Таблица 7.7. Скорость звука (с) в воздухе в зависимости от температуры

Температура, С°С	с, м/с	Температура, С°С	с, м/с
-150	216,7	30	348,9
-100	263,7	50	360,3
-50	299,7	100	387,1
-20	318,7	200	436,0
-10	325,7	300	479,8
0	331,5	400	520,0
10	337,3	500	557,2
20	343,1	1000	714,2

Таблица 7.8. Скорость звука (с) на различной высоте (h) над Землёй

h ,м	с, м/с	h ,м	с, м/с	h ,м	с, м/с
0	340,29	500	338,38	5000	320,54
50	340,10	600	337,98	10 000	299,53
100	339,91	700	337,60	20 000	295,07
200	339,53	800	337,21	50 000	329,80
300	339,14	900	336,82	80 000	282,54
400	338,76	1000	336,43	100 000	251,34