Тема 2 «Задачі математичного програмування (мп)»

План лекції

1. Загальна постановка задачі математичного програмування (МП)

2. Класифікація задач МП.

3. Типи максимумів. Теорема Вейєрштрасса та теореми про достатні умови глобального максимуму.

4. Специфіка задач математичного програмування.

1. Загальна постановка задачі математичного програмування (мп)

З усіх завдань, що розглядаються в дослідженні операцій, особлива увага приділяється тим завданням, в яких беруть активну участь обмеження на область застосування змінних. Такі завдання були відокремлені в особливу область математики, яка отримала назву математичне програмування.

Математичне програмування - область математики, що розробляє теорію і чисельні методи рішення багатовимірних екстремальних задач з обмеженнями, тобто задач на екстремум функції багатьох змінних з обмеженнями на область зміни цих змінних.

Для застосування чисельних методів розв'язання екстремальних задач з обмеженнями, задач математичного програмування, будується математична модель вихідної задачі.

Математична модель - це відносна істина, яка відображає певні особливості досліджуваних явищ.

Формалізована на тій чи іншій мові (у вигляді диференціальних або різницевих рівнянь, нерівностей, функцій і т.д.) математичні модель відображає певні властивості реальних процесів, що протікають в різних галузях .

Вимоги, що пред'являються до створюваних моделей, дуже суперечливі.

З одного боку, бажано, щоб модель була досить простою (це значно спрощує процес її дослідження). З іншого боку, модель повинна бути достатньо повною, тобто в ній повинні бути враховані всі суттєві фактори, що роблять найбільший вплив на перебіг і результат дій.

Побудова математичної моделі - свого роду мистецтво, яким можна опанувати тільки досвідченим шляхом, поступово. І почнемо вивчення моделей задач математичного програмування.

Модель задачі математичного програмування включає:

1) план задачі (вектор управління, рішення, стратегія, поведінка та ін.) - сукупність невідомих величин , діючи на які, систему можна вдосконалювати;

2) цільову функцію (показник ефективності, критерій оптимальності, функціонал завдання та ін.) - функцію, екстремальне значення якої треба знайти в умовах будь-яких можливостей. Цільову функцію позначимо . Це може бути прибуток, обсяг випуску або реалізації, витрати виробництва, рівень обслуговування, число комплектів, відходи і т.д.;

3) систему обмежень (умови), які накладаються на невідомі величини. Обмеженнями є матеріальні, фінансові та трудові ресурси, можливості технічного, технологічного і взагалі наукового потенціалу. Математично обмеження виражаються у вигляді рівнянь і нерівностей. Їх сукупність утворює область допустимих рішень.

У розгорнутому вигляді математичну модель можна представити таким чином: Знайти план , який доставляє екстремальне значення цільової функції Z, тобто при обмеженнях .

З економічних або фізичних міркувань на план задачі або деякі його компоненти (координати), як правило, накладаються умови невід'ємності , іноді  цілочисельності.

План X, що задовольняє системі обмежень завдання, називається допустимим.

Допустимий план, який доставляє функції мети екстремальне значення, називається оптимальним. Оптимальний план будемо позначати , екстремальне значення функції мети . Оптимальне рішення, взагалі кажучи, не обов’язково єдине, можливі випадки, коли воно не існує, є кінцеве або незліченна безліч оптимальних рішень.