Экзаменационный билет № 8

1.Множественный регрессионный анализ.

Множественный регрессионный анализ – это метод установления зависимости одной переменной от двух или более независимых переменных. В то время как зависимая переменная (та переменная, которую Вы хотите предсказать) должна быть непрерывной (за исключением логистической регрессии), независимые переменные могут быть как прерывными, так и категориальными, такими как «пол» или «тип применяемого препарата». В случае категориальных независимых переменных необходимо будет создавать переменные «пустышки», а не использовать соответствующие значения (подробнее это будет обсуждено позднее). Если все независимые переменные являются категориальными (или большинство из них являются категориальными), то в этом случае лучше использовать дисперсионный анализ.

Имеются две причины для использования множественной регрессии, и они будут анализироваться по отдельности. Первая – это использование множественной регрессии в тех исследованиях, когда значения независимых переменных находились под экспериментальным контролем (например, когда изменялось количество применяемого препарата, или количество дней между приемами препарата). Обычно подобный подход называется «запланированная регрессия». Второй вариант включают ситуации, когда анализируется группа пациентов, у которых измерили некоторые количество естественно возникающих переменных (возраст, доход, уровень тревоги и т.д.),  и эти переменные связываются с некой переменной, которая нас интересует. Обычно подобный подход называется «не экспериментальная регрессия»

2. Вывод нормальных уравнений согласно методу наименьших квадратов

Теорема Гаусса Маркова. При выполнении предпосылок 1 – 4 оценка метода наименьших квадратов В = (Х^ТХ)^-1Х^ТУ является наиболее эффективной, т.е. обладает наименьшей дисперсией в классе линейных несмещенных оценок.

Наряду с стандартизованными коэффициентами регрессии используются средние по совокупности показатели эластичности:

Е_j = , (30)

которые показывают на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1%. Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Экзаменационный билет № 9

1.Нелинейная регрессия. Способы линеаризации нелинейных функций. Нелинейная регрессия

Часто в экономических исследованиях возникают ситуации, в которых количественная связь между переменными оказывается нелинейной и для ее описания используются соответствующие нелинейные функции. Различают два подхода для оценки параметров нелинейной модели, поэтому при линеаризации имеем:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

– полиномы различных степеней – , ;

– равносторонняя гипербола – ;

– полулогарифмическая функция – .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

– степенная – ;

– показательная – ;

– экспоненциальная – .

Линеаризация регрессионных моделей осуществляется путем простой замены нелинейных факторов переменных на линейные, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. 1.Парабола второй степени (18)

приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению множественной регрессии . Однако для параболы второй степени можно использовать МНК исходя из исходного уравнения (18):

S = ,

а после преобразований получим систему уравнений:

(19)

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: в экономике труда при узучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста, зависимость объема выпуска продукции от затрат на производство, зависимость урожайности от количества внесенных удобрений.

2. В классе нелинейных функций в эконометрике широко используется равносторонняя гипербола , которая может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы . Используя замену и МНК система нормальных уравнений имеет вид:

(20)

3.Регрессия нелинейная по оцениваемым параметрам, делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

;

;

,

где , тогда используя МНК, а далее

потенцирование, находится искомое уравнение.

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является коэффициентом эластичности.

Для оценки тесноты связи между переменными так же, как и в случае линейной зависимости, вычисляется индекс корреляции:

= (21)

Величина данного показателя находится в пределах: 0≤ ≤ 1. Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по -критерию Фишера (15):

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации, которая, так же как и в линейном случае, вычисляется по формуле (12).