Решение

1) Данные значения для месячного уровня продаж у_t образуют базовую линию, длины n =10. Для наглядности, изобразим данные задачи графически: на горизонтальной оси будем откладывать время t от 0 до 10, а на вертикальной оси уровни продаж у_t от 65 до 78. Для удобства построения вертикальную ось можно « разорвать».

Расположение точек на графике показывает, что они приблизительно выстраиваются вдоль некоторой прямой линии, что даёт возможность сделать предположение о линейной зависимости уровня продаж у_t от времени t: у_t = а_*t + b.

2) Для вычисления значений параметров уравнения регрессии a и b по формулам, указанным ранее, удобно построить расчётную таблицу. В первой колонке этой таблицы помещают время t, это порядковый номер месяцев от 1 до 10. Вторая колонка содержит соответственные значения базовых данных у_t. В третьей колонке расположены значения квадратов времени t², а в четвёртой произведения соответственных значений t_*у_t. Внизу найдены суммы для первых четырёх колонок. С их помощью вычисляем все средние значения, необходимые для нахождения параметров a и b.

Остальные колонки расчётной таблицы будут заполняться позже.

	t	уt	t2	t* уt	f(t)	│‌‌уt– f(t)│	Отнош.	( уt – f(t))2
	1	65	1	65	65,71	0,71	0,011	0,50
	2	66	4	132	67,22	1,22	0,018	1,48
	3	69	9	207	68,73	0,27	0,004	0,07
	4	72	16	288	70,24	1,76	0,024	3,11
	5	73	25	365	71,75	1,25	0,017	1,57
	6	71	36	426	73,25	2,25	0,032	5,06
	7	76	49	532	74,76	1,24	0,016	1,53
	8	78	64	624	76,27	1,73	0,022	2,95
	9	77	81	693	77,78	0,78	0,010	0,61
	10	78	100	780	79,29	1,29	0,017	1,67
∑	55	725	385	4 112			0,172	18,62

Найдём все средние значения:

= ∑t /n = 55/10 = 5,5; = ∑ y_t/n = 725/10 = 72,5;

= ∑t ²/n = 385/10 = 38,5; _.= (∑ t_* у_t )/n = 4112/10 = 411,2.

Вычислим параметры уравнения регрессии, по формулам указанным выше:

= =1,51;

= 72,5 – 1,51_*5,5 = 64,2.

В результате получим уравнение линейной регрессии:

f(t) = 1,51_*t +64,2.

Построим на графике найденное уравнение прямой по двум точкам:

при t = 0, f(0) = 11,51*0 + 64,2 = 64,2; это точка (0; 64,2);

при t = 10, f(10) = 1,51*10 + 64,2 = 15,1 + 64,2 = 79,3; это точка (10; 79,3). Отметим эти точки на графике (они отмечены крестиками) и проведём через них прямую линию. Это и есть прямая регрессии. Наблюдаемые точки (t; y_t) лежат по обе стороны от прямой регрессии и в совокупности наилучшим образом приближены к ней. Обратите внимание, что точка с координатами ( , обязательно должна лежать на прямой регрессии. В рассматриваемой задаче это точка (5,5; 72,5) , она действительно лежит на прямой.

3) Оценим адекватность полученной модели, то есть насколько хорошо регрессионные значения f(t) приближены к данным фактическим значениям у_t.. Это можно сделать с помощью характеристики, называемой «средняя ошибка аппроксимации». Она ‌‌вычисляется по формуле:

А = (1/n) ∑(‌‌‌│у_t – f(t)│/ y_t).

Чем меньше средняя ошибка аппроксимации, тем выше качество регрессионной модели. Допустимый предел ошибки не более 10%.

‌ Используя найденное уравнение регрессии, вычислим значения у для всех значений t от 1 до 10: f(1) =1,51_*1+64,2 = 65,71; f(2) =1,51_*2+64,2 = 67,22 и т. д. Поместим эти значения в пятую колонку расчетной таблицы под заголовком f(t). Следующая шестая колонка содержит отклонения данных значений y_t от значений, вычисленных по уравнению регрессии f(t), взятые по абсолютной величине: │у_t – f(t)│. В следующей седьмой колонке вычислим отношения найденных отклонений к соответствующим фактическим значениям y_t: │у_t – f(t)│/y_t . Далее найдём итоговую сумму этих отношений. Полученное значение суммы делим на объём выборки n = 10. Найденное значение и есть ошибка аппроксимации. В решаемой задаче А = = 0,172/10 = 0,0172, то есть А = 1,72%. Ошибка значительно меньше допустимого значения 10%, следовательно найденная регрессионная модель адекватна и её можно использовать для прогнозирования.

4) Сделаем прогноз на следующие два месяца одиннадцатый и двенадцатый:

у₁₁ = f(11) = 1,51_*11 + 64,2 = 80,80;

у₁₂ = f(12) = 1,51_*12 + 64,2 = 82,31.

На графике эти значения отмечены жирными точками на прямой регрессии, они соответствуют значениям времени t =11 и t =12.

5) Найденные прогнозные значения являются усреднёнными. В действительности можно прогнозировать лишь попадание прогнозных значений в некоторый доверительный интервал. Уровень доверия по условию задачи равен 90%.

Ошибка прогноза Δ вычисляется по формуле: Δ = _*T_*K_m, где

– остаточное среднее квадратическое отклонение,

Т – квантиль распределения Стьюдента,

К_m – поправочный коэффициент, m = 1;2.

Для подсчёта остаточного среднего квадратического отклонения S_y заполним последнюю колонку расчётной таблицы. Для этого возводим в квадрат найденные ранее отклонения (в шестой колонке) и суммируем эти квадраты отклонений. Полученную сумму делим на число степеней свободы (n – k) = 10 – 2 = 8, где n =10 – длина базового периода, k =2 – количество параметров регрессионной модели (их два a и b). Остаточное среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:

В рассматриваемой задаче:

Квантиль Т находится по таблице распределения Стьюдента. Он зависит от уровня надёжности р и числа степеней свободы (n – k).

Если р = 90% , а число степеней свободы n – k = 10-2= 8, то Т=1,86.

Поправочный коэффициент К_m вычисляется по специальной формуле и зависит от длины базового периода n и от глубины прогноза m.

Глубина прогноза отсчитывается, начиная от базового периода, длина которого n=10. Для прогноза на 11-ый месяц глубина m = 1 и поправочный коэффициент К₁ = 1,21. Для прогноза на 12-ый месяц глубина m = 2 и поправочный коэффициент К₂ = 1,27.

В результате получим следующие ошибки прогноза на 11-ый и 12-ый месяцы: Δ₁₁ = 1,53*1,86*1,21 = 3,44; Δ₁₂ = 1,53*1,86*1,27 = 3,60.

При увеличении глубины прогноза ошибка прогноза возрастает, поэтому прогноз выполняют на глубину не более четверти длины базового периода, то есть менее чем n/4.

6) Найдём относительную погрешность прогноза: δ_t = ( / y_t )_*100%. Если относительная ошибка не более 10%, то точность прогноза высокая, если от 10% до 20%, то точность хорошая; если от 20% до 50%, то точность удовлетворительная, иначе точность неудовлетворительная.

В данной задаче δ₁₁= Δ₁₁ / у₁₁ = 3,44/80,80 = 0,0425 , т. е. 4,25%,

δ₁₂ = Δ₁₂ / у₁₂ = 3,60/82,31 = 0,0438 , т. е. 4,38%,

это означает, что точность прогноза высокая.

Результаты прогноза записывают в виде доверительного интервала:

y_t. Є (f(t) – ; f(t)_.+ ) с вероятностью р; t =11 и t = 12. Чем выше вероятность р, тем шире интервал для прогнозирования и, следовательно, точность хуже.

В решаемой задаче с вероятностью 90%:

у₁₁Є (80,80 – 3,44; 80,80 + 3,44) = (77,36; 84,24),

у₁₂Є (82,31 – 3,60; 82,31 + 3,60) = (78,71; 85,91).

Ответ. Линейная трендовая модель для прогнозирования имеет вид:

y = 1,51_*t +64,2.

Прогноз продаж на 11-ый месяц: 80,80 ± 3,44; на 12-ый месяц: 82,31 ± 3,60

с надёжностью 90%. Модель адекватная, точность прогноза высокая.