Решение

1) Имеем четырёхканальную СМО с неограниченной очередью. Здесь каналами обслуживания являются разгрузочные площадки, их 4, а поток заявок (требований) образуют прибывающие на погрузку грузовики.

2) Найдём интенсивность обслуживания μ и параметр загрузки системы ρ:

μ = 1/ t_обсл= 1/24 маш./мин. = (1/24)*60 маш./час. = 2,5 маш./час.

ρ =λ /μ = 9/2,5 =3,6.

3) Чтобы очередь не была бесконечной, нужно чтобы интенсивность поступления требований λ была меньше общей интенсивности обслуживания всех n каналов: λ ˂ n_*μ или λ /μ ˂ n. Таким образом, должно выполняться условие: ρ ˂ n. В решаемой задаче это условие выполняется, так как ρ = 3,6, а n =4.

4) Возможные состояния четырехканальной СМО с неограниченной очередью:

S₀ – все каналы обслуживания свободны, очереди нет;

S₁– 1 канал занят, остальные 3 канала свободны, очереди нет;

S₂ – 2 канала заняты, остальные 2 канала свободны, очереди нет;

S₃ – 3 канала заняты, 1 канал свободен, очереди нет;

S₄ – все 4 канала заняты, очереди нет;

S₅ = S₄₊₁ – все 4 канала заняты, и 1 заявка в очереди;

S₆ = S₄₊₂ – все 4 канала заняты, и 2 заявки в очереди;

S₇ = S₄₊₃ – все 4 канала заняты, и 3 заявки в очереди;

…………………………………………………………

Найдём вероятности этих состояний, используя следующие формулы:

Подставив в эти формулы, данные для решаемой задачи, получим:

и т.д. Очевидно, что сумма всех вероятностей единица: Р₀+ Р₁+ Р₂+ … = 1.

5) Событие «очереди нет» соответствует состояниям: S₀, S₁, S₂, S₃, S₄. Складывая вероятности, соответствующие этим состояниям, получим:

Р* = Р (очереди нет) = Р₀+Р₁+ Р₂+ Р₃+ Р₄ = 0,011256 + 0,04052 + 0,07294 +

+ 0,08753 + 0,07878 ≈ 0,291 (29,1%).

6) Найдём вероятность наличия очереди. Очевидно, что

Р(очередь есть) = 1 – Р(очереди нет) = 1 – Р* = 1 – 0,291 = 0,709 (70,9%).

7) Вероятность того, что в очереди не более 2-х грузовиков, равна:

Р( не более 2-х груз. в очереди) = Р(к ≤ 2) = Р₀ + Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ + Р₅ + Р₆ =

= 0,011256+ 0,04052+ 0,07294+ 0,08753+ 0,07878+ 0,07090+ 0,06381 ≈ 0,4257.

Тогда вероятность того, что в очереди более чем 2 грузовика, составит:

Р(более 2-х груз. в очереди) = Р(к ˃2) = 1 – Р(к ≤ 2) =

= 1 – 0,4257 = 0,5743 (57,43%).

8) Среднее количество грузовиков в очереди называется также средней длиной очереди и находится по формуле:

9) Среднее количество грузовиков на обслуживании L_обсл. находим как математическое ожидание числа грузовиков находящихся на обслуживании, а именно для каждого состояния умножаем число занятых обслуживанием каналов на вероятность состояния. Следует заметить, что на обслуживании будет 4 грузовика, начиная с состояния S₄ и вероятность этого равна: Р₄ + Р₅ + Р₆ + … = 1 – Р₀ – Р₁ – Р₂ – Р₃ = 1– 0,011256 – 0,04052 – 0,07294 – 0,08753 ≈

= 1 – 0,21225 = 0,78775.

Тогда L_обсл.= 0_*Р₀ + 1_*Р₁ + 2_*Р₂ + 3_*Р₃ + 4_*(1 – Р₀ – Р₁ – Р₂ – Р₃) =

= 0*0,011256 +1*0,04052 +2*0,07294 +3*0,08753 + 4*0,78775 = 3,6.

10) Среднее количество грузовиков в системе складывается из количества грузовиков на обслуживании плюс количество грузовиков в очереди:

L_сист.= L_обсл + L_оч. = 3,6 + 7,1 = 10,7.

11) Среднее время пребывания грузовика в очереди находим по формуле:

Т_оч. = L_оч. /λ = 7,1 /9 ≈ 0,79 час. = 0,79*60 ≈ 47,4 мин.

12) Аналогично находим среднее время пребывания грузовика на складе:

Т_сист. = L_сист. /λ = 10,7 /9 ≈ 1,19 час. = 1,19*60 ≈ 71,4 мин.

Контроль. Должно выполняться условие: Т_сист.= Т_оч. + t_обсл.

Действительно Т_оч. + t_обсл. = 47,4 мин. + 24 мин. =71,4 мин. = Т_сист.

Оценим работу склада с помощью показателей эффективности, найденных в пунктах 5 – 12.

Система достаточно сильно загружена. Из четырёх погрузочных площадок в среднем заняты 3,6 площадки. Коэффициент загрузки системы высокий: L_обсл/n = 3,6/4 = 0,9, то есть на 90% система загружена. Большой процент грузовиков находится в очереди (70,9%). Достаточно большое количество грузовиков (в среднем 10,7) находятся на складе из них приблизительно 4 грузовика на обслуживании и приблизительно 7 грузовиков в очереди, где они ожидают погрузки в среднем 47,4 мин.