Задачі для самостійного розв’язування.

1. Із 100 туристів 75 володіють німецькою мовою і 83 — французькою.

Відомо, що 10 осіб не знають ні німецької, ні французької мови. Скільки туристів розмовляють німецькою та французькою мовами?

2. Було проведено опитування 40 семикласників щодо їхніх вподобань

газованих напоїв. З’ясувалося, що 32 учні люблять Sprite, 21 — Coca-Cola, а 15 — і Sprite, і Coca-Cola. Скільки учнів не люблять ні Sprite, ні Coca-Cola?

3. У неділю 19 учнів 7-А класу відвідали планетарій, 10 — цирк, 6 —музей. Планетарій і цирк відвідали 5 учнів, планетарій і музей — 3, цирк і музей — 1 учень. Скільки учнів навчається в 7-А класі, якщо жоден не встиг відвідати всі три місця, а 3 учні взагалі залишилися вдома?

4. Серед 100 учнів, які відпочивають у літньому таборі, абонентами Київстар є 30 осіб, МТС — 28, Life — 42 особи. Сімкарти Київстар і МТС мають 8 учнів, Київстар і Life — 10, МТС і Life — 5, а всі три сімкарти є в З учнів. Скільки учнів користуються послугами інших мобільних операторів?

5. Зі співробітників фірми 16 відвідали Францію, 10—Італію, 6 —Англію. В Англії та Італії побували 5 осіб, в Англії та Франції — 6, у всіх трьох країнах — 5 співробітників. Скільки осіб відвідали Італію та Францію, якщо на фірмі їх працює 19, і кожен із них побував хоча б в одній із зазначених країн.

Поняття функціонального рівняння. Простіші функціональні рівняння

Теоретичні відомості. У рівняннях, що розглядалися раніше, необхідно було знайти таке число, яке б перетворювало рівняння на правильну числову рівність. Проте в завданнях різних математичних змагань досить часто зустрічаються рівняння, в яких невідомою є деяка функція.

Приклад 1. Знайдіть усі функції f визначені на множині дійсних чисел, які задовольняють рівняння f ( х + у ) = х + уf (х) + (1 - х ) у .

Приклад 2. Знайдіть усі функції f, які при всіх дійсних значеннях х і у задовольняють рівняння

f { x +y² + 2y + 1) = у⁴ + 4у³ + 2ху² +5y²+ 4ху + 2у + х² + х + 1.

Рівняння, яке виражає співвідношення між виразами, складеними із значень деякої функції, за яким потрібно знайти цю функцію, будемо називати функціональними.

Зауваження. Останнім часом у літературі вживають назву функційні рівняння.

Розв’язати функціональне рівняння — означає відшукати (побудувати) всі функції, що задовольняють рівняння для всіх його допустимих значень змінних, або довести, що таких функцій не існує.

Зазвичай розрізняють окреме і загальне розв’язання функціонального рівняння. Окремим розв‘язанням є функція, що задовольняє вказане рівняння в заданій області визначення, а загальне розв’язання — це сукупність всіх функцій, що задовольняють рівняння.

Для розв’язування функціональних рівнянь застосовують різні методи. Ми ознайомимося з найуживанішим із них — методом підстановки.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння , де x дійсне число і х≠0.

Нехай f(х) — функція, що задовольняє вказане рівняння. Оскільки вона має задовольняти рівняння при всіх дійсних значеннях змінних, крім х = 0, то покладемо х = . Матимемо рівняння:

Розглянемо систему рівнянь

і розв’яжемо її відносно f(х).

Звідси,

Перевіримо, чи знайдена функція задовольняє дане рівняння.

Справді,

Суть методу, який ми використали, розв’язуючи приклад 3, полягає у виконанні наступних дій:

• припускаємо, що рівняння має розв’язок;

• застосовуємо до змінної, що входить до рівняння, деяку підстановку;

• утворюємо систему рівнянь з даного рівняння та рівняння, одержаного в результаті підстановки;

• розв’язуємо систему рівнянь відносно шуканої функції;

• безпосередньою перевіркою впевнюємося, що знайдена функція задовольняє умову задачі.

Слід зауважити, що основною складністю під час застосування методу підстановок є саме добір вдалої підстановки.

Розглянемо рівняння, які містять дві змінні, причому одна з них х або у не міститься під знаком функції f.

Приклад 4. Знайдіть функцію, визначену при всіх дійсних х і у, яка задовольняє рівняння: 1) f(х + у) = у +f(х); 2) f(ху) = уf(х).

Розв’язуючи такі рівняння, доцільно зробити таку підстановку, в результаті якої можна було б позбутися однієї зі змінних.

Покладемо у першому рівнянні х = 0. Матимемо f(у) = у + f(0). Нехай f(0) = а. Тоді f(у) = у + а. Ця функція задовольняє рівняння при довільному значенні а. Справді, f(х+ у)= х + у + а = у + (х + а) = у +f(х).

Покладемо у другому рівнянні x=1. Матимемо f(у) = уf(1). Нехай f(1) = а. Тоді f(у) =уа. Ця функція задовольнятиме рівняння при довільному значенні а. Справді, f(у) = хуа = у(xa)- уf(х).

Знайдемо функції у прикладах 1 і 2.

Нехай f — функція, що задовольняє рівняння, вказане в прикладі 1. Оскільки вона має задовольняти рівняння при всіх дійсних значеннях змінних, то покладемо у=0. Матимемося f(x)=x. Ця рівність має виконуватися для довільного дійсного значення змінної. Покажемо за допомогою перевірки, що функція f(x)=x є розв’язком даного рівняння. Справді,

f (x + у) = x + уx + (1 - x) у = x + уx + у - xу = x + у.

У прикладі 2 позбавимося виразу у² + 2у + 1 під знаком функції. Оскільки y²+2у+1=0, коли у = -1, то підставимо це значення у рівняння. Матимемо f(х) = 1 - 4 + 2x + 5 – 4x - 2 + x²+ x + 1 = x² - x + 1.

Покажемо, що функція f(х) = x² - x + 1 є розв’язком даного рівняння.

Справді,

Зауваження. Перевірка є обов’язковою під час розв’язування функціональних рівнянь, оскільки всі перетворення відбуваються в результаті припущення, що існує функція, яка задовольняє вказане рівняння.

Розв’язування задач.

Задача 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Покладемо . Матимемо рівняння:

Розв’яжемо систему:

Звідси,

Виконаємо перевірку:

Відповідь:

Задача 2. Знайдіть функцію, визначену при всіх дійсних х та у, яка задовольняє рівняння

Розв’язання. Виконаємо підстановку х = 0. Матимемо:

Позначимо f(0) = а і виконаємо підстановку у =-у:

Розв’яжемо систему:

Пересвідчимося, що функція f(у) = у + 3а задовольняє рівняння.

Відповідь: f(х) = х + 3а, де а — довільне дійсне число.

Задача 3. Знайдіть функцію, визначену при всіх дійсних х та у, яка задовольняє рівняння

Розв’язання. Виконаємо підстановку х = 0. Матимемо:

Виконаємо перевірку:

Очевидно, що останній вираз дорівнюватиме нулю для всіх дійсних х та у, коли а = 0.

Відповідь: f(х) = х².

Задачі для самостійного розв’язування.

Розв’яжіть функціональні рівняння.

1.

2. де

3.

4.

5.

6.