Тема 6. Геометричні перетворення.
Рухи і перетворення подібності. Інверсія. Метод геометричних перетворень в задачах на побудову.
Література
Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике. – Вып. 44. – М.: Наука, 1966.
Геометричні перетворення площини: Навч. посіб. для студ. фіз.-мат. фак-тів вищ. пед. навч. закл. / В.Н. Боровик, І.В. Зайченко, М.М. Мурач, В.П. Яковець. – Суми: Університетська книга, 2003. – 706 с.
Заславский А.А. Геометрические преобразования. – М.: МЦНМО, 2004. – 86с.
Семенець С. Навчання учнів основної школи методам геометричних перетворень. – Режим доступу
http://eprints.zu.edu.Ua/2752/l/reoM_nepeT_K_MIII.pdf
Тема 7. Числові послідовності.
Числові послідовності в природі. Послідовність Фібоначчі.
Література
Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. — М.: Наука, 1978. — 144 с.
Числа Фибоначчи и природа. – Режим доступу http://www.maths.surrey.ac.uk/
Hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
Тема 8. Координати і вектори на площині.
Координатний і векторний методи розв’язування задач з алгебри та геометрії.
Література
Єгорова Г.О. Векторний і координатний методи розв’язування задач // Математика. – 2001. – № 5. – С. 5–11.
Кушнир И. А. Координатный и векторный метод решения задач. – К.: Астарта, 1996, – 413 с.
Панішева О.В. Векторний метод. Інтегрований урок геометрії та фізики // Математика. – 2000. – №14. – С. 4–5.
МАТЕРІАЛИ ДО ПРОВЕДЕННЯ ЗАНЯТЬ
ЗАДАЧІ НА ПЕРЕЛИВАННЯ, ПЕРЕПРАВИ
ТА ЗВАЖУВАННЯ
Під час формування в учнів уміння розв’язувати задачі на переливання, переправи та зважування доцільно використовувати орієнтовні схеми міркувань (далі – ОСМ).
Задачі на переливання
Підготовча задача. Чи можна за допомогою двох ємностей місткістю 5 л і 3 л відміряти 2 л води?
ОСМ. 1) наливаємо 5 л води в 5-літрову ємність;
2) переливаємо з неї в 3-літрову 3 л в, у 5-літровій ємності залишається 2 л води.
Задача 1 (базова). Як за допомогою двох ємностей місткістю 3 л і 5 л налити 1 л води (є водопровідний кран і раковина, куди можна виливати воду)? Як за допомогою цих ємностей відміряти 4 л води?
ОСМ подамо у вигляді таблиці з відповідними коментарями:
Кроки |
Ємність 3 л |
Ємність 5 л |
Коментар |
0 |
0 |
0 |
На початку обидві ємності порожні |
1 |
3 |
0 |
Наповнюємо водою 3-літрову ємність |
2 |
0 |
3 |
Переливаємо воду з 3-літрової ємності в 5-літрову |
3 |
3 |
3 |
Наповнюємо 3-літрову ємність |
4 |
1 |
5 |
Переливаємо з 3-літрової в 5-літрову стільки води, поки вона не наповниться. Води в 3-літровій залишиться 1 л |
Задача 2 (базова). Мачуха дала Попелюшці два відра місткістю 5 л і 9 л та наказала принести з річки 3 л води. Підкажіть Попелюшці, як це зробити.
Кроки |
Відро 5 л |
Відро 9 л |
Коментар |
0 |
0 |
0 |
Обидва відра порожні |
1 |
0 |
9 |
Наповнюємо водою 9-літрове відро |
2 |
5 |
9-5 |
Переливаємо воду з 9-літрового відра в 5-літрове, у 9-літровому залишається 4 л |
3 |
0 |
4 |
Виливаємо воду з 5-літрового відра |
4 |
4 |
9 |
Виливаємо з 9-літрового відра в 5-літрове 4 л води і наповнюємо 9-літрове відро |
5 |
4+1 |
9-1 |
Доливаємо в 5-літрове відро з 9-літрового 1 л води, у 9-літровому відрі залишається 8 л |
6 |
0 |
8 |
Виливаємо воду з 5-літрового відра |
7 |
5 |
3 |
Наповнюємо з 9-літрового відра 5-літрове, у 9-літровому відрі залишається 3 л |
Зауваження. Надалі запис розв’язання можна подавати у вигляді таблиці.
Задача 3 (задача Пуасона). Хтось має 12 пінт вина (пінта – стародавня міра рідини, що дорівнює приблизно 0,568 л) і хоче рівно половину його подарувати. Але у нього немає ємності місткістю 6 пінт, а є дві – 8 пінт і 5 пінт. Як можна налити у 8-пінтову ємність 6 пінт?
Крок Ємність |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 пінт |
0 |
0 |
5 |
0 |
3 |
3 |
5 |
8 пінт |
0 |
8 |
3 |
3 |
0 |
8 |
6 |
Задача 4. Як, маючи два відра місткістю 5 л і 7 л, набрати з річки 6 л води?
Задача 5. У першому відрі є 9 л води, є ще два відра місткістю 5 л і 3 л. Як за допомогою цих відер відміряти 1 л води? Як відміряти 4 л води?
Задача 6. Бідон місткістю 10 л наповнений молоком. Як розлити молоко порівну, використовуючи при цьому два бідони місткістю 7 л і 3 л.
Кроки Бідони |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
3 л |
0 |
3 |
0 |
3 |
0 |
3 |
2 |
2 |
0 |
3 |
0 |
7 л |
0 |
0 |
3 |
3 |
6 |
6 |
7 |
0 |
2 |
2 |
5 |
10 л |
10 |
7 |
7 |
4 |
4 |
1 |
1 |
8 |
8 |
5 |
5 |
Або це можна зробити так.
Кроки Бідони |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
3 л |
0 |
0 |
3 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
3 |
0 |
7 л |
0 |
7 |
4 |
4 |
1 |
1 |
0 |
7 |
5 |
5 |
10 л |
10 |
3 |
3 |
6 |
6 |
9 |
9 |
2 |
2 |
5 |
Задача 7. У бочці 18 л бензину. Як можна налити по 6 л бензину у два відра місткістю по 7 л кожне, використовуючи черпак місткістю 4 л?
Кроки Ємності |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
7 л |
0 |
4 |
4 |
4 |
4 |
7 |
0 |
7 л |
0 |
0 |
0 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 л |
4 |
0 |
4 |
0 |
4 |
1 |
1 |
18 л |
14 |
14 |
10 |
10 |
6 |
6 |
13 |
Кроки Ємності |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
7 л |
1 |
1 |
5 |
5 |
7 |
7 |
0 |
7 л |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
6 |
6 |
4 л |
0 |
4 |
0 |
4 |
2 |
0 |
0 |
18 л |
13 |
9 |
9 |
5 |
5 |
5 |
12 |
Кроки Ємності |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
7 л |
0 |
4 |
4 |
7 |
0 |
1 |
1 |
7 л |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
4 л |
4 |
0 |
4 |
1 |
1 |
0 |
4 |
18 л |
8 |
8 |
4 |
4 |
11 |
11 |
7 |
Кроки Ємності |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
7 л |
5 |
5 |
7 |
0 |
2 |
2 |
6 |
7 л |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
4 л |
0 |
4 |
2 |
2 |
0 |
4 |
0 |
18 л |
7 |
3 |
3 |
10 |
10 |
6 |
6 |
Задача 8. ІЦоб зварити яйце, потрібно 15 хв. Як за допомогою двох пісочних годинників на 7 хв та 11 хв можна відміряти потрібний час, перевертаючи годинники найменшу кількість разів?
ОСМ. Запустимо одночасно обидва годинники. Після того, як пройде 7 хв, починаємо варити яйце. Через 4 хв 11-хвилинний годинник перевертаємо і варимо яйце ще 11 хв.
Задача 9. У трьох купках 22, 14 і 12 горіхів. Потрібно, використавши три перекладання, зрівняти кількість горіхів у купках, при цьому з будь-якої купки дозволяється перекладати стільки горіхів, стільки їх у другій купці.
Початок |
1-й крок |
2-й крок |
3-й крок |
24 горіхи |
8 горіхів |
8 горіхів |
16 горіхів |
14 горіхів |
28 горіхів |
16 горіхів |
16 горіхів |
12 горіхів |
12 горіхів |
24 горіхів |
16 горіхів |
Задача 10. Чашка наповнена кавою по вінця. Я відпив половину і долив стільки само молока. Потім відпив третю частину отриманої кави з молоком і знову долив молока. Нарешті, відпив шосту частину отриманої кави з молоком і знову долив стільки само молока. Після цього я допив каву з молоком. Чого я випив більше: кави чи молока?
ОСМ.
Однаково, оскільки молока долили
чашку.
Задача 11. В одну склянку налили 5 ложок чаю, а в другу – 5 ложок молока. Ложку молока перелили із другої склянки в першу, потім ретельно перемішали і ложку чаю з молоком із першої склянки перелили назад у другу склянку. Чого виявилося більше: чаю в другій склянці чи молока в першій? Як зміниться відповідь, якщо таке переливання зробити 10 разів?
Відповідь. Однаково у всіх випадках.
Задача 12. У шкільному кабінеті хімії є три банки з сірчаною кислотою місткістю 1 л, 2 л і 3 л. Концентрація кислоти в цих банках невідома (вона може бути як різною, так і однаковою). Потрібно перелити кислоту в три порожні банки такої самої місткості, але зробити це слід так, щоб концентрація кислоти у всіх трьох банках була однакова. Як це зробити, якщо іншого посуду немає?
ОСМ. Позначимо банки, в яких є кислота, відповідно до їх місткості А1, А2 і АЗ, а порожні банки — Б1, Б2 і Б 3 відповідно.
Кроки |
Дії |
Банки |
|||||
А1 |
А2 |
А3 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
||
0 |
Початковий стан |
1 л |
2 л |
3 л |
0 л |
0 л |
0 л |
1 |
Зливаємо в Б 3 кислоту з А 1 і А2: маємо дві 3-літрові банки з кислотою різної концентрації |
0 л |
0 л |
3 л |
0 л |
0 л |
3 л |
2 |
Із А 3 відливаємо кислоту в А1 і Б1 |
1 л |
0 л |
1 л |
1 л |
0 л |
3 л |
3 |
Переливаємо кислоту з А1 у А2, а з Б1 у Б2 |
0 л |
1 л |
1 л |
0 л |
1 л |
3 л |
4 |
Із Б 3 доливаємо кислоту в А2 і Б2 |
0 л |
2 л |
1 л |
0 л |
2 л |
1 л |
5 |
Із А 3 переливаємо кислоту в Б 3 |
0 л |
2 л |
0 л |
0 л |
2 л |
2 л |
6 |
Із А2 переливаємо кислоту в Б1 і Б 3 |
0 л |
0 л |
0 л |
1 л |
2 л |
3 л |