5. Статистика Основные характеристики выборки

Статистика – это наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о разнообразнейших массовых явлений в жизни.

Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения товаров, прогнозирует рост и падение производства и потребления.

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Генеральная совокупность – это вся совокупность однородных объектов, которую изучают относительно некоторого признака, который характеризует эти объекты.

Выборкой называют совокупность случайно выбранных объектов из генеральной выборки.

Статистическим распределением называют перечисление вариант и соответствующих им частот.

Эмпирической функцией распределения называют функцию , которая определяет для каждого х относительную частоту , то есть где - число вариант меньших х, - объем выборки.

Основные числовые характеристики выборки:

Медиана – это так называемое среднее значение упорядоченного ряда значений случайной величины:

Мода – это вариант, который имеет большую частоту, встречается чаще других.

Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины выборки.

Среднее выборочное -

Дисперсия -

Среднее квадратичное отклонение -

Коэффициент вариации -

Подобно тому, как графики всех парабол можно получить с помощью геометрических преобразований одной параболы , так и все кривые нормальных распределений можно получить с помощью геометрических преобразований одной кривой. Эту кривую называют кривой нормального распределения, или гауссовой кривой: .

Правило трех сигм:

68% (или приблизительно ) всех значений нормального распределения случайной величины Х имеют отклонение от среднего значения, по абсолютной величине не превышающее среднее квадратичное отклонение , а 96% всех значений – не превышающее . Почти все значения (точнее, 99,7 всех значений) имеют отклонение от среднего, не превышающего по абсолютной величине утроенное среднее квадратичное отклонение .

Пример 1. Найдите размах, моду, медиану и среднее значение ряда данных некоторой случайной величины 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Постройте полигон частот значений случайной величины . Укажите на рисунке размах, моду, медиану заданного ряда данных.

Решение.

Размах выборки: .

Среднее значение: .

Мода выборки: , так как число 2 повторяется чаще всего.

Медиана: , так как именно это число стоит в центре ряда.

Постоим полигон частот.

Пример 2. Выигрыши (в грн.), которые приходятся на один билет в каждой их двух лотерей, имеют следующие законы распределения:

1)

Х	0	1	5	10
Р	0,9	0,06	0,03	0,01

2)

Х	0	1	5	10
Р	0,85	0,12	0,02	0,01

Какой из этих лотерей вы отдадите предпочтение?

Решение.

Найдем математическое ожидание каждого распределения.

1) .

2) .

Сравним два числа и получим, что вторая выгодней.

Пример 3. Задана генеральная совокупность из 20 элементов. Выполнить задания:

1) построить статистическое распределение и ее эмпирическую функцию распределения;

2) вычислить ее числовые характеристики выборки: среднее, дисперсию и среднее квадратичное отклонению

Решение.

Дана генеральная выборка:

15,19,13,12,9,14,15,19,12,17,13,9,15,12,15,14,18,16,15,12.

1) Статистическое распределение выборки имеет вид:

	9	12	13	14	15	16	17	18	19
	2	4	2	2	5	1	1	1	2

Эмпирическая функция распределения имеет вид:

где - число вариантов, меньших чем х; - объем выборки; Тогда имеем:

или

2) Числовые характеристики выборки:

Среднее

Выборочная дисперсия

Среднее квадратичное отклонение

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Натуральные числа. Действия с натуральными числами. Метод математической индукции

2. Целые числа, правила сложения, умножения и деления с целыми числами

3. Дробные числа. Обыкновенные и десятичные дроби. Действия над ними.

4. Квадратные корни. Свойства квадратного корня

5. Действительные числа. Десятичная запись действительного числа. Действия на множестве действительных чисел.

6. Числовая прямая. Модуль числа.

7. Проценты. Задачи на проценты.

8. Пропорция, основное свойство пропорции.

9. Функция, определение и способы задания.

10. Свойства элементарных функций.

11. Графики элементарных функций.

12. Предел функции.

13. Производная функции, таблица производных.

14. Первообразная для функции.

15. Определённый интеграл.

16. Таблица интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

17. Комбинаторика. Перестановки, сочетания и размещения.

18. Бином Ньютона.

19. Вариационный ряд. Размах, мода и медиана ряда.

20. Статистическое распределение. Полигон.

21. Среднее ряда.

22. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение.