2.1. Занятие 1

Рассмотрим следующую нелинейную эконометрическую модель, представленную полиномом вида:

y= a₀ + a₁ x₁²+ a₂ x₂² + a₃ x₃² + a₄ x₄²+ a₅ x₅²+ a₆ x₆² + u

При проведении работы следует:

1. Определить форму связи между переменными х и у.

2. Оценить параметры нелинейной множественной регрессии, предполагая, что соблюдаются условия теоремы Гауса-Маркова.

3. Построить график исходной модели и на него «наложить» график полученной парной регрессии.

4. Построить график остатков полученной нелинейной множественной регрессии и по нему определить их характер.

5. Проверить выполнение отдельных условий теоремы Гауса-Маркова: проверить остатки на гомоскедастичность и на автокорреляцию.

6. Оценить тесноту связи между переменными х и у, используя для этого показатели корреляции и детерминации.

7. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество полученной регрессии, т.е. отклонение расчетных значений от фактических.

8. Оценить статистическую надежность результатов по полученной регрессии с помощью F – критерия Фишера.

9. Оценить качество полученных параметров нелинейной множественной регрессии.

10. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,5 и проверить полученные параметры регрессии на адекватность.

11. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,5 и проверить полученную регрессию на адекватность.

12. Результаты проведенных исследований следует внести в отчет (см. Приложение 1).

Данную модель следует привести к линейной, т.е. провести линеаризацию нелинейной множественной регрессии. Сделать это можно путем замены переменных. Введем следующие переменные:

z1=x₁², z₂ = х₂², z₃ = х₃², z₄ = x₄², z₅ = х₅², z₆ = x₆²,

и пересчитаем исходные значения нелинейной эконометрической модели, см. табл. 2.2.

Таблица 2.2.

№ объекта наблюдения	y	z1	z2	z3	z4	z5	z6
1	10,4	748225	423801	6901129	2916	27225	17,64
2	19,7	91604041	1656369	82901025	11025	125316	176,89
3	17,7	1779556	1094116	9272025	7225	160000	16
4	17,5	48219136	891136	6522916	6241	97344	31,36
5	13,1	19580625	1175056	16719921	8464	116281	16,81
6	14,4	21734244	1587600	41177889	11025	246016	53,29
7	15,1	4410000	1468944	23474025	10201	69696	75,69
8	11,9	1476225	64516	1,06E+08	361	6084	3,61
9	13,9	26946481	3222025	92198404	22500	140625	102,01
10	19,5	24651225	8128201	1,57E+08	57600	163216	144
11	14,5	4272489	1336336	45131524	9216	212521	84,64
12	12,5	5116644	1081600	47886400	10609	178084	96,04
13	19,8	10304100	2019241	9734400	15876	293764	134,56

После замены переменных получаем уже линейную множественную эконометрическую модель вида

y= a₀ + a₁z₁ + a₂ z₂ + a₃ z₃+ a₄ z₄+ a₅ z₅+ a₆ z₆ + u

Все последующие операции проводим с полученными данными: тест Дарбина-Уотсона, тест Голдфелда-Квандта, F-тест, t-тест.

(данные процедуры были подробно рассмотрены в кейсе 3, а поэтому здесь не приводятся)

Проведите необходимые исследования самостоятельно.

В результате получены следующие значения параметров:

a₀ = 12,03266 a₁ = 4,43E-08 a₂ = 4,48E-06 a₃ = -2,4E-08

a₄ =-0,00053 a₅ = 9,82E-06 a₆ = 0,013924

Множественный R =0,813 R-квадрат = 0,660

Стандартная ошибка = 2,60

ta₀ = 6,375374 ta₁ = 1,030028 ta₂ = 0,680882 ta₃ = -0,93393

ta₄ =-0,56102 ta₅ = 0,769213 ta₆ = 0,542287

Получена следующая нелинейная множественная регрессия

y=12,0327+4,43E-08 z₁+4,48E-06 z₂-2,4E-08 z₃-0,0005 z₄+9,82E-06 z₅+0,0139 z₆

(1,887) (4,3E-08) (6,58E-06) (2,56E-08) (0,0009) (1,28E-05) (0,0256)

Ниже представлены графики остатков рассматриваемой множественной модели для проведения их оценки на гомоскедастичность:

Проведем проверку полученной нелинейной множественной регрессии на адекватность.

Для этого следует определить количество наблюдений в учебной и контролирующей выборках. Провести оценку параметров исходной модели по учебной выборке. Оценить значение объясняемой переменной по полученным оценочным параметрам учебной выборки. Определить интервальные значения для проверки имеющихся значений объясняемой переменной из контролирующей выборки. Определить попадает ли в рассчитанный интервал значения объясняемой переменной из контролирующей выборки.

(данную процедуру студенты должны выполнить самостоятельно, на основании полученных практических знаний в кейсе 3)

Внимание. Для задачи, выбранной в качестве самостоятельной работы, проведите анализ нелинейной эконометрической модели, представленной полиномиальной функцией. Результаты проведенного исследования запишите в отчет.