1.2 Теоретические положения

Множество значений случайной величины, полученных в результате эксперимента или наблюдений над объектом исследования, представляет собой статистическую совокупность. Статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения случайной величины, называется генеральной статистической совокупностью. Выборочной статистической совокупностью называется совокупность, в которой содержится только некоторая часть элементов генеральной совокупности. По результатам экспериментов практически всегда встречаются с выборочной, а не с генеральной совокупностью. Выборочную статистическую совокупность будем в дальнейшем называть выборкой, а число опытов (наблюдений) n , содержащееся в выборке – объемом выборки.

При повторении опытов в одинаковых условиях обычно обнаруживается закономерность в частоте появления тех или иных результатов. Некоторые значения случайной величины появляются значительно чаще других, при этом в целом они группируются относительно некоторого значения - центра группирования, которое мы обозначим через . Для описания этого явления используется вероятностный подход. Пусть - вероятность того, что случайная величина, являющаяся результатом эксперимента, примет значение , Если значения известны для всех возможных значений из генеральной совокупности, то величину можно найти по формуле

Величину называют математическим ожиданием или генеральным средним случайной величины. Одно только математическое ожидание не может отобразить все характерные черты статистической совокупности.

Исследователю необходимо знать, кроме того, изменчивость, или вариацию наблюдаемой характеристики объекта.

Рассеивание случайной величины относительно математического ожидания характеризуется величиной, называемой дисперсией. Обычно она обозначается через . Для генеральной совокупности дисперсия определяется по формуле

Дисперсию часто называют генеральной дисперсией. Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины, или стандартом .

Как и дисперсия, среднее квадратическое отклонение является характеристикой рассеивания значений случайной величины относительно математического ожидания.

Формулы справедливы для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин математическое ожидание и дисперсия выражаются через соответствующие интегралы.

Поскольку экспериментатор встречается не с генеральной совокупностью, а с выборкой, необходимо иметь формулы, позволяющие приближенно оценить математическое ожидание и дисперсию на основе экспериментальных данных.

Пусть по результатам однородной серии опытов получена выборка . Наилучшей оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое или просто «среднее»

Найденное значение называют еще выборочным средним в отличие от генерального среднего . Оценкой дисперсии случайной величины является выборочная, или эмпирическая дисперсия. Она обозначается через и вычисляется по формуле

Числитель этой формулы представляет собой сумму квадратов отклонений значений случайной величины от среднего значения . Знаменатель формулы для выборочной дисперсии называется числом степеней свободы, связанным с этой дисперсией, и обозначается через :

Величина

является оценкой среднего квадратического отклонения выборки.

Ее также называют выборочным стандартом или стандартным отклонением выборки.

Часто для оценки изменчивости (вариации) случайных величин используют коэффициент вариации . Он равен отношению к , %:

Коэффициент вариации характеризует не абсолютное, а относительное рассеивание случайной величины относительно среднего.

Важное значение имеют также следующие статистические показатели:

средняя квадратическая ошибка среднего значения

показатель точности среднего значения

ошибка среднего квадратического отклонения

* Для вычисления среднего арифметического значения и выборочной дисперсии и стандартного отклонения выборки в Microsoft Excel можно воспользоваться встроенными статистическими функциями, соответственно СРЗНАЧ, ДИСП и СТАНДОТКЛОН.

1.3 Результаты расчетов

Таблица 1. - расчетный лист из Microsoft Excel части №1.

2 РАСЧЕТ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОБХОДИМОГО ОБЪЕМА ВЫБОРКИ. ОТБРАСЫВАНИЕ ГРУБЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

2.1 Исходные данные

«Расчет доверительного интервала для математического ожидания.

Определение необходимого объема выборки.

Отбрасывание грубых наблюдений»

Вариант №2

1) Определить доверительный интервал для математического ожидания при уровне значимости .

789	807	769	731	752
638	833	736	716	684

2.1) Определить необходимый объем выборки, при котором среднее значение отличалось бы от математического ожидания не более чем на с доверительной вероятностью .

2.2) Определить необходимый объем выборки при уровне значимости и относительной допускаемой ошибке .

2.3) Проверить, являются ли минимальное и максимальное значения выборки промахом при уровне значимости .

410	420	448	449	415	439	480	435
457	450	417	443	470	439	448	432
435	424	450	460	402	407	449	446
430	455	413	462	446	412	443	475
438	455	419	426	470	442	453	421
412	419	439	482	459	444	435	420
420	411	439	414	442	435	482	464
439	406	423	461	447	442	410	427
483	456	428	450	423	435	436	454
472	424	466	452	470	456	450	432
455	408	439	436	392	437	398	446
448	424	408	462	447	424	491	452
407	469	437	387	447	467	461	468
458	472	450	452	402	430	404	453
432	456	448	450	420	453	440	439
424	439	394	476	427	489	472	466
452	412	424	473	439	475	455	462
444	489	444	439	453	449	474	430
454	452	429	414	458	421	442	451
480	446	460	414	443	479	483	435
427	447	432	494	433	435	393	418
465	444	434	439	433	470	395	433
421	469	433	455	447	455	432	404
480	467	463	445	435	446	409	419
451	446	456	389	440	439	436	438

2.2 Теоретические положения

2.2.1 Расчет доверительного интервала для математического ожидания

Величина среднего арифметического значения , найденная по выборке, представляет ценность постольку, поскольку по ней можно судить об истинном среднем, математическом ожидании . Представляет интерес отыскание величины максимальной ошибки , которую мы допускаем, предполагая равным . Требуется, следовательно, найти величину при которой

Этим неравенством задается интервал, в котором находится значение математического ожидания . Этот интервал называется доверительным интервалом для математического ожидания. Величина зависит от объема выборки n. Чем больше n , тем меньше максимальная ошибка . Однако, даже при заданном n нельзя абсолютно достоверно указать величину , так как расчет этой величины, как и любой статистический вывод, делают на основе результатов эксперимента, а они заведомо содержат ошибки. Выводы, которые делают на основе неточных данных, принципиально не могут быть абсолютно достоверными. Поэтому говорят о надежности статистического вывода, которую оценивают величиной доверительной вероятности p , где . Например, статистический вывод, сделанный с доверительной вероятностью , будет справедлив в 95 случаях из 100. Будем пользоваться чаще величиной , называемой уровнем значимости. Уровень значимости задается заранее, до проведения расчетов. Типичные значения для q : 0,01; 0,05 и 0,1 или, в процентах: 1, 5, 10.

Величина определяется по формуле , следовательно, доверительный интервал для математического ожидания равен

где – стандартное отклонение выборки;

- табличное значение - критерия Стьюдента;

- объем (количество элементов) выборки.

Величину - критерия Стьюдента определяют из соответствующих таблиц (они имеются практически в каждом руководстве по математической статистике или планированию эксперимента) ее следует выбирать по предварительно заданному уровню значимости и числу степеней свободы .

Оценку для математического ожидания в виде интервала часто называют интервальной оценкой.

Не следует думать, что во всех случаях целесообразно задаваться возможно большей надежностью статистического вывода. С большей надежностью можно гарантировать только более широкий доверительный интервал для математического ожидания при тех же опытных данных.