Основные законы распределения, используемые в статистических исследованиях

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону (или закону Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид

,

где – численные параметры нормального закона распределения, . График плотности распределения в этом случае называется нормальной кривой (или кривой Гаусса).

Нормальная кривая расположена выше оси абсцисс , симметрична относительно вертикальной прямой ( ), имеет своей горизонтальной асимптотой ось абсцисс, имеет две точки перегиба ( ; ), ( ; ) и достигает максимума при , равного .

Р исунок 11 - Кривая Гаусса

Параметры и нормального распределения имеют следующий вероятностный смысл:

• параметр равен математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины Х, т.е. ;

• параметр равен среднему квадратическому отклонению нормально распределенной случайной величины Х, т.е. .

Отметим также, что для нормального закона распределения , .

Распределение Пирсона "хи-квадрат"

Рассмотрим независимых нормально распределенных случайных величин с , , и составим сумму квадратов этих величин:

= .

Определенная таким образом случайная величина называется распределенной по закону "хи-квадрат" (закону Пирсона) с степенями свободы.

Заметим, что распределение "хи-квадрат" имеет один параметр – число степеней свободы. При увеличении числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента (t-распределение)

Рассмотрим две независимые случайные величины и V ( ); т.е. случайная величина Z имеет нормальное распределение с и , а независимая от нее случайная величина V распределена по закону с степенями свободы. Составим случайную величину

.

Определенная таким образом случайная величина T называется распределенной по закону Стьюдента с степенями свободы.

Отметим, что распределение Стьюдента имеет один параметр – число степеней свободы. При увеличении числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Распределение Фишера ( -распределение)

Рассмотрим две независимые случайные величины U и V, распределенные по закону со степенями свободы и соответственно. Составим случайную величину

.

Определенная таким образом случайная величина называется распределенной по закону Фишера со степенями свободы и .

Заметим, что распределение Фишера имеет два параметра и – числа степеней свободы.

Отметим также, что имеются специальные таблицы квантилей распределений N(0,1), ( ), ( ), .

Биноминальное распределение

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую смысл числа появлений некоторого события А в серии из независимых опытов по схеме Бернулли. Возможные значения случайной величины Х, очевидно, таковы: 0, 1, 2, …, . Для нахождения вероятностей этих возможных значений достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

( =0, 1, …, ),

где – вероятность появления события А в одном опыте; .

Данная формула и является аналитическим выражением биноминального закона распределения дискретной случайной величины.

Распределение Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, возможные значения которой составляют множество всех целых неотрицательных чисел: 0, 1, 2, …, , …, причем последовательность этих значений теоретически не ограничена (бесконечна). Вероятности этих возможных значений зададим следующей формулой:

( =0, 1, 2, …),

где – некоторая положительная величина, называемая параметром распределения.

Данная формула является аналитическим выражением закона распределения Пуассона.

Отметим, что закон Пуассона приближенно заменяет биноминальный закон распределения в случаях, когда велико, а мало; при этом параметр . По этой причине закон распределения Пуассона часто называют законом редких ( мало) массовых ( велико) явлений.