6. Использование интеграла в экономических задачах.
Экономический смысл определенного интеграла: выражает объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.
Также примеры: Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией; Определить запас товаров в магазине, образуемый за n дней, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = at+b; Пусть сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени dt = f(t), тогда наращенная сумма находится с помощью интегрального вычисления, и др.
7. Интегрирование чётных и нечетных функций в симметричных пределах.
Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция: f(–x)= f(x). Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку. Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов. Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку x = – st:
Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция: f(–x) = – f(x).Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен нулю. Доказывается аналогичным образом.
8. Несобственный интеграл первого рода.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом .
Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.
Пусть Функция f(x) определена на [a,+,бесконечность);
и
нтегрируема
на [a,A].
Предел вида
называется несобственным интегралом первого рода.
9. Несобственный интеграл второго рода.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом .
Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.
Различают несобственные интегралы 1-го и 2-го рода в зависимости от того, имеем ли мы дело с бесконечностью промежутка интегрирования или с неограниченностью подынтегральной функции.
10. Двойной интеграл. Геометрический и физический смысл.
Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций. Обозначение двойного интеграла
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеррогала. Итак, двойной интеграл от функции g(x;у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию g(х;у) считать плотностью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.