17. Признаки Даламбера и Коши
Одним из распространенных признаков сравнения в практических примерах является признак Даламбера. Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны
. Признак
Даламбера:
Рассмотрим положительный
числовой ряд 
.
Если существует предел отношения
последующего члена к предыдущему: 
,
то:
а) При 
ряд сходится.
б) При 
ряд расходится.
в) При 
признак
не дает ответа.
Нужно использовать другой признак
Радикальный
признак Коши: Рассмотрим положительный
числовой ряд
.
Если существует предел: 
,
то:
а) При
ряд сходится.
В частности, ряд сходится при 
.
б)
При
ряд расходится.
В частности, ряд расходится при 
.
в)
При
признак
не дает ответа.
Нужно использовать другой признак
18. Интегральный признак Коши.
Интегральный
признак Коши -
признак сходимости убывающего
положительного числового
ряда. Признак
Коши даёт возможность свести проверку
сходимости ряда к проверке сходимости
несобственного
интеграла соответствующей
функции на 
,
последний часто может быть найден в
явном виде.
П
усть
f (x) является непрерывной, положительной
и монотонно убывающей функцией на
промежутке [1, +∞). Тогда ряд
сходится,
если сходится несобственный интеграл
и расходится если
19. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е. если любые два его соседних члена суть числа разных знаков
Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:
Пусть для знакочередующегося ряда
выполняются следующие условия:
1. an+1<an (монотонное убывание {an})
2
.
Тогда этот ряд сходится.
20. Абсолютн. И условн. Сходимость числов. Рядов.
Р
яд
называется условно сходящимся, если
сам он сходится, а ряд, составленный из
абсолютных величин его членов, расходится.
То есть, если
существует (и не
бесконечен), но
П
ростейшие
примеры условно сходящихся рядов дают
убывающие по абсолютной величине
знакочередующиеся ряды. Например, ряд
сходится лишь условно, так как ряд из его абсолютных величин — гармонический ряд — расходится.
Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.
При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.
21. Функциональный ряд. Основные понятия
Ф
ункц.
ряд — ряд, каждым членом которого, в
отличие от числового ряда, является не
число, а функция
И
зоражение:
-энная частичная сумма.
Пример:
- общая формула
Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.
ﵼﵱﵔ ﵥ ﵐﵡ ﵑ ﵓﶔﶋﷶ
22. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Р
яд,
членами которого являются степенные
функции аргумента x, называется степенным
рядом Это важный частный случай
функциональных рядов.
Т
еорема
Абеля — результат теории степенных
рядов. Пусть
- степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости . Если этот ряд является сходящимся, то:
Область сходимости ряда - множество точек сходимости функционального ряда, т.е. множество значений аргумента х, для которых ряд (бесконечная сумма) сходится. Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости. Так называют радиус круга сходимости степенного ряда на комплексной плоскости.
23. Ряд Тейлора и Маклорена.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
П
усть
функция эф от икс бесконечно дифференцируема
в некоторой окрестности точки а, тогда
ряд
называется рядом Тейлора функции эф в точке а.
Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0. При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.